【대수경】 제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 36회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 36회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2017년 (10:00 - 13:00)

 

1. 집합 S = {1, 2, ···, 2017}의 원소들은 성분으로 가지는 모든 n × n 행렬들의 집합을 T라고 하자. 다음 값을 계산하여라. (단, n은 2 이상의 양의 정수이다.)

 

 

 

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2. 임의의 실계수 다항식 f(x, y)는 (x + ay)^k 꼴의 다항식들의 실계수 일차결합으로 표현됨을 보여라. (단, a는 임의의 실수, k는 0 이상의 정수이다.)

 

 

Solution. 

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3. 수열 {a_n}이 a₁ > 1이고 점화식 an+1 = 1 + n² / a_n을 만족할 때, 극한 lim_n→∞ a_n / n을 구하시오. 

 

 

Solution. 

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4. 실계수 3차 다항식 f(x) = x³ + ax² + bx + c에 대하여 방정식 f(x) = 0의 세 근을 α, β, γ라 하자. 세 근 α, β, γ가 서로 다른 세 실수이기 위한 필요충분조건은 실대칭행렬

 

 

이 양의 정부호(positive definite)임을 보여라. (단, p_i = αⁱ + βⁱ + γⁱ이다.)

 

 

Solution.

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5. 다음 극한을 계산하여라.

 

 

 

Solution.

부분분수법(integration by parts)에 의해 다음이 성립함을 확인하자.

 

 

I_n은 n에 대하여 감소함수이므로 (준식)은 샌드위치 정리에 의해 n의 홀짝성에 따라 다른 수렴값을 가지지는 않는다.

따라서, 수렴값은 다음과 같다. 

 

 

한편, 위 식에서는 엄밀하게 수렴성을 보이지는 않았지만, I_n-2 > I_n-1 > I_n > I_n+1 > I_n+2 이므로 √(I_n-2·I_n-1) > I_n > √(I_n+1·I_n+2)와 같이 식을 구성할 수 있어서 수렴값뿐만 아니라 수렴성도 같이 보여주는 식으로 식을 다시 구성해볼 수도 있다. 

 

 

6. 양의 정수 n에 대하여 n × n 실행렬 A는 모든 성분이 1인 행렬 J에 대하여 다음을 만족한다.

 

 

모든 양의 홀수 m에 대하여 A^m - I가 가역행렬임을 보여라. (단, A^T는 A의 전치행렬이다.)

 

 

Solution. 

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7. 수열 {a_n}은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, 0 < θ < π / 2이다. 다음이 성립함을 보여라. 

 

 

 

Solution.

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8. 다음 미분방정식의 해를 u(t)라고 하자. 

 

 

⑴ 함수 u(t)와 u'(t)가 t > 0인 범위에서 유계임을 보여라. 

⑵ 극한 lim_t→∞ u(t)를 구하여라. 

 

 

Solution.

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입력: 2025.02.28 09:36