【물리학】 역학 8강. 단진동과 진동학

역학 8강. 단진동(simple harmonic motion)과 진동학(vibeology)

 

추천글 : 【물리학】 물리학 목차 

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1. 진동학 [본문]

2. 유형 1. 단진동 [본문]

3. 유형 2. damped oscillation [본문]

4. 유형 3. forced oscillation [본문]

5. mechanical impedence [본문]

6. mechanical resonance [본문]

7. superposition [본문]

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a. 단진동 실험 

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1. 진동학(vibeology) [목차] 

⑴ 정의 : 물체의 역학적 운동이 파동의 성질을 띠는 것 

 

 

2. 유형 1. 단진동(단순 조화 운동, simple undamped oscillation, simple harmonic motion) [목차]

 

 Figure. 1. 단순 조화 운동 도식

 

⑴ 개요 : 주기 일정

⑵ 원인 : 계에서 복원력과 관성이 함께 작용하면 단조화 운동이 일어남

① 복원력(restoring force) : 변화량에 비례하는 힘을 생성

② y" + Ky = 0, K > 0과 같은 미분방정식으로 얻어지는 게 일반적

○ F = ma에서 y" 항이 생성

○ 복원력이 변위의 변화량에 비례한다는 점에서 Ky 항이 생성

③ 복원력에 의한 전체 에너지

○ E = K + U

○ E = ½ kA², 단 A는 진폭 (최대 변위)

④ 복원력에 의한 퍼텐셜 U

○ 퍼텐셜과 힘의 관계 : F = -∇U

○ 복원력 F ∝ x이므로 U ∝ x²

○ 복원력에 의한 퍼텐셜은 평형점에서 가장 낮고 변위의 변화량이 클수록 증가 

○ 안정, 불안정

○ 안정한 평형점 : U" > 0 (아래로 볼록), U' (x=0) = 0

○ 불안정한 평형점 : U" < 0 (위로 볼록), U' (x=0) = 0

⑤ 비선형 효과(nonlinear effect)

○ 역학계가 평형상태로부터 변화량이 커서 복원력이 더이상 변화량에 비례하지 않는 현상

○ 변형된 단조화 운동이 관찰됨

⑶ 시스템 정의 

① 미분방정식의 해

 

 

② Frequency Domain Conversion 

 

 

⑷ 예 1. 용수철 하에서의 단진동

① 정의 : 질량을 무시할 수 있는 용수철에 물체를 지면과 평행하게 좌우로 왕복운동하는 것

② (참고) 탄성력(elastic force) : 원자핵 간 반발력으로 인해 물체가 원래 상태로 되돌아가는 힘

○ 탄성 : 물체의 모양을 변형시킬 때 처음 상태로 되돌아가려는 성질

○ 탄성체 : 탄성이 있는 물체 (예 : 용수철, 장대, 자판에 쓰이는 고무)

○ 탄성력 : 탄성체의 탄성의 힘의 척도

○ 탄성한계 : 탄성체가 어느 한계 이상 늘어나 처음 상태로 되돌아 오지 못하는 성질

○ 훅의 법칙(Hooke's law) : 용수철을 당기는 힘에 비례하여 길이가 늘어난다는 법칙

○ 수식 : F ∝ x (변형된 길이) → F = -kx (단, k는 탄성계수)

○ 음의 부호는 늘어난 길이의 반대 방향이라는 의미

○ 탄성계수 (용수철 상수, 스프링 상수) : 용수철을 1 m 늘릴 때 필요한 힘

○ 코일 스프링

 

 

○ 겹판 스프링

 

 

○ 컴플라이언스(compliance) : 용수철 상수의 역수

○ 직렬 연결에서 용수철 상수의 변화 : 용수철을 직렬로 연결하면 더 쉽게 늘어나서 용수철 상수는 작아짐

 

 

○ 병렬 연결에서 용수철 상수의 변화 : 용수철을 병렬로 연결하면 더 많이 힘이 드므로 용수철 상수가 커짐

 

 

③ 탄성력에 의한 단진동 : 외력 = 복원력 = 탄성력임을 이용하여 식을 세우고, 2차 미분방정식을 풀이 

 

 

④ 결론 : 용수철의 주기 T가 오직 질량 m과 탄성계수 k에 대한 함수

 

 

⑸ 예 2. 단진자(simple pendulum) 

① 질량을 무시할 수 있는 실에 물체를 매달아 작은 진폭으로 왕복운동하는 것

② 진자의 주기 T가 오직 줄의 길이 ℓ에 대한 함수

 

 

③ 물리진자 : 강체를 회전축을 중심으로 중력장에서 단진자 운동을 시킬 경우

 

 

④ 단, I은 회전 중심에 대한 강체의 회전관성, h는 회전중심으로부터 강체의 무게중심까지의 거리

⑹ 예 3. 중력 하에서 용수철에 매달린 물체의 단진동 (용수철의 질량을 고려하지 않는 경우) 

① 물체의 질량 m, 용수철의 자연길이로부터 중력 방향으로 늘어난 길이 x (음수일 수도 있음)에 대하여

 

 

○ Φ : 초기 위상

○ x_m : 진폭 (최대 변위)

② 초기조건 : t = 0에서 v = x = 0이라고 가정하면

 

 

③ 팁 1. 단진동의 중심은 탄성력과 중력이 평형을 이루는 위치

 

 

④ 팁 2. 단진동의 진폭은 초기 조건이 결정 : 초기 위치에서 단진동의 중심까지의 거리

⑤ 팁 3. 단진동의 주기 : 초기 속력과 늘어난 길이, 중력가속도와 관계 없음

 

 

⑺ 예 4. 중력 하에서 용수철에 매달린 물체의 단진동 (용수철의 질량을 고려한 경우) (ref) 

 

Figure. 2. 용수철의 질량을 고려한 경우

 

① 조건 1. 추의 질량 M, 용수철 질량 m, 용수철 상수 k, 용수철 길이 L, 용수철을 매단 곳으로부터의 거리 L

② 조건 2. 용수철은 균일, L ≫ 늘어난 길이 x 

③ 힘의 평형 하에, 0부터 y인 지점까지 용수철이 늘어난 길이 x(y) (≪ y)는 다음과 같음

 

 

④ 위 식은 용수철 질량은 없고 용수철이 늘어난 길이는 일정하지만 용수철 상수가 위치에 따라 변하는 것으로 간주 가능

 

 

⑤ 평균 용수철 상수를 구하면 다음과 같음

 

 

⑥ m ≪ M인 경우 ln (1 + x)의 Taylor Series를 이용하면,

 

 

⑦ 주기의 근사값은 다음과 같음; 단, (1 + x)^-1 ≒ 1 - x를 이용

 

 

⑧ 더 정확한 계산을 하면 매우 복잡함

 

 

⑻ 예 5. pendulum wave 

① 정의 : 60초 주기로 분산되었다가 합쳐지며 춤추듯 움직이는 15개의 진자 (ref)

 

 

② 설계 : 60초 내 1, 2, ..., 15번째의 진자의 진동수가 51, 52, ..., 65회가 되도록 각 진자의 길이를 정교하게 조율 

 

 

⑼ 예 6. 진자운동의 정확한 해 

① 전제

○ 상황 : free undamped simple pendulum motion

○ governing equation

 

 

○ 초기 조건

 

 

○ governing equation 근사 (θ ≪ 1)

 

 

○ 일반해 근사식 (θ ≪ 1)

 

 

○ 특해 근사식 (θ ≪ 1)

 

 

② 정확한 해

○ transformation

 

 

○ trigonometric relation 

 

 

 

○ 1st substitution

 

 

○ 2nd substitution : ω₀ comes from governing equation, so that it has nothing to do with angular frequency.

 

 

○ limitation for z 

 

 

○ exact solution for τ 

 

 

③ Jacobi elliptic function 

○ elliptic integral

 

 

○ definition of Jacobi elliptic function sn

 

 

○ elliptic integral expression for τ

 

 

○ period expression with K(k)

 

 

○ sn expression for τ 

 

 

○ 결론

 

 

⑽ 예 7. 단진동으로 circular motion 보여주기

 

 

⑾ 예 8. LC 회로

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 3. LC 회로의 진동

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 4. LC 회로의 해석

 

⑿ 예 9. 원자의 진동

 

 

3. 유형 2. damped oscillation [목차]

 

Figure. 5. damped oscillation 도식

 

⑴ governing equation

 

 

⑵ frequency domain conversion

 

 

⑶ β의 도입과 감쇠 운동의 분류

 

 

① β² - ω₀² > 0 : 중감쇠(overdamped, heavy damping)

② β² - ω₀² = 0 : 임계감쇠(critically damped)

③ β² - ω₀² < 0 : 경감쇠(under damped, light damping)

⑷ 일반적으로 β ＜ ω₀가 성립함

 

 

 

4. 유형 3. forced oscillation [목차]

 

Figure. 6. forced oscillation 도식

 

⑴ governing equation

 

 

⑵ f_e가 삼각함수인 경우

① 진동 = 자연진동(natural vibration) + 정상진동(steady-state vibration)

② 자연진동 = 제차해(homogeneous solution) = 상보해(complementary solution) = 과도해(transient solution)

○ e^-βt로 인해 시간이 지나면 0으로 수렴함

③ 정상진동 = 특해(particular solution)

○ 일반적으로 특해만 관심대상이 됨

○ 컴플렉스 하모니(complex harmony)로 가정

 

 

○ (참고) ω ≪ ω₀ 

 

 

○ (참고) ω = ω₀ 

 

 

○ (참고) ω ≫ ω₀

 

 

 

 

5. mechanical impedance [목차]

⑴ 정의 

① complex driving force ÷ complex velocity at driving point로 정의

 

 

② 속도를 얻기 위한 힘의 크기 개념

⑵ SDOF system

 

 

① Z_m : 물질의 고유한 성질. response를 예측 가능

② R_m : mechanical resistance. 에너지 손실

③ X_m : mechanical reactance. 에너지 storage

④ 임피던스를 알 수 있으면 그 반응(response)을 알 수 있음

 

 

⑶ ω ≪ ω₀ : Z_m* = -js / ω

① spring-like(stiffness-like) impedence

② negative imaginary

③ inversely proportional to frequency

⑷ ω = ω₀ : Z_m* = Rm

⑸ ω ≫ ω₀ : Z_m* = jωm

① mass-like impedence

② positive imaginary

③ linearly proportional to frequency

⑹ imaginary impedence : R_m = 0인 경우

① force and velocity are out of phase

② no power is required to drive the system

○ R_m = 0이므로 분산되는 에너지가 없음

 

 

6. mechanical resonance [목차]

⑴ 정의 : reactance 부분인 X_m  

⑵ 임피던스의 허수부가 0일 때 진동수

 

 

 

7. superposition [목차]

 

 

Figure. 7. Superposition 도식

 

⑴ 가정 1. 작은 진폭 반응(small amplitude response)

 

 

⑵ 가정 2. 시스템이 선형(linear)

⑶ 수식화

 

 

입력: 2019.04.09 08:59

수정: 2023.10.07 17:04