역학 3강. 운동의 법칙
추천글 : 【물리학】 물리학 목차
1. 뉴턴의 운동법칙 [본문]
2. 힘의 종류 [본문]
3. 힘의 분석 [본문]
4. 질량중심 [본문]
a. 중력 실험
b. 코리올리 힘
c. 도르래를 타면서 힘을 주는 사람은 힘의 이득이 2이다.
1. 뉴턴의 운동법칙(Newton's law of motion) [목차]
⑴ 제1법칙 : 관성의 법칙(law of inertia)
① 관성(inertia) : 물체가 운동 상태를 유지하려는 성질
② 응용 1. 정지한 물체는 계속 정지해 있음
③ 응용 2. 운동하는 물체는 등속도로 운동하려고 함
④ 물체에 영향을 미치는 요인이 없는 경우에 한함
⑵ 제2법칙 : 가속도의 법칙(law of acceleration)
① 힘의 정의 : 물체의 모양이나 운동 상태를 변화시키는 원인
② 수식화 : 질량이 일정하지 않는 경우도 있어서 운동량의 변화율로 정의하는 게 정석임
③ 운동량 p = m × v
④ F = ma에서의 m을 관성질량(inertia mass)이라고 함 : 중력질량과 달리 관성의 원천이 됨
⑶ 제3법칙 : 작용-반작용의 법칙
① 모든 힘에는 짝이 있음
② 크기는 같고 방향이 반대인 힘이 서로에게 작용
2. 힘의 종류 [목차]
⑴ 종류 1. 외력 (external force) : 외부에서 가하는 힘. 물리학에서 힘은 딱 네 종류가 존재함
⑵ 종류 1-1. 만유인력(universal gravitation)
① 만유인력 : 질량을 가진 두 물체 사이에 존재하는 인력
단, r : 두 물체 간 거리, G : 만유인력 상수, 6.67 × 10-11 m3/s2·kg
○ 만유인력은 상호작용 : 힘이 질량에 비례한다면, 두 물체의 질량의 곱에 비례
○ 만유인력은 거리의 제곱에 반비례 : 중력자의 플럭스(flux)가 거리의 제곱의 반비례하기 때문
○ 만유인력의 거리 의존성은 태양계의 운동 분석으로 판단
○ 만유인력에서의 질량을 중력질량(gravitational mass)이라고 함 : 관성질량과 달리 힘의 원천이 됨
② 중력
○ 중력(gravity) : 지표면상(r = 6370 km, M = 5.98 × 1024 kg)의 만유인력을 지칭
○ 질량(mass)과 무게(weight)
○ 질량 : 장소에 따라 변하지 않는 물체의 고유한 양
○ 무게 : 질량에 의해 물체에 작용하는 힘, 장소에 따라 그 크기가 다름
○ 무중력상태(weightless state) : 알짜 힘이 0인 상태 (예 : 낙하하는 엘리베이터 내부)
○ 지표면 소규모 운동은 물체와 지구 간 거리가 거의 일정하여 중력이 일정 : g = 9.81 m/s2
③ 부력(buoyancy) : 중력과 파스칼의 원리가 결합하여 나타난 힘
○ 부력 : 유체 속에 있는 물체가 떠오르려는 힘
○ 부력의 크기 : 물체가 유체 속에서 차지하는 부피만큼의 무게
⑶ 종류 1-2. 전자기력(electromagnetic force)
① 전기력(electric force) : 대전 입자 사이에서 작용하는 힘
② 자기력(magnetic force) : 자기를 띤 물체 사이에서 작용하는 힘
③ 탄성력(elastic force) : 원자핵 간 반발력으로 인해 물체가 원래 상태로 되돌아가는 힘
○ 탄성 : 물체의 모양을 변형시킬 때 처음 상태로 되돌아가려는 성질
○ 탄성체 : 탄성이 있는 물체 (예 : 용수철, 장대, 자판에 쓰이는 고무)
○ 탄성력 : 탄성체의 탄성의 힘의 척도
○ 탄성한계 : 탄성체가 어느 한계 이상 늘어나 처음 상태로 되돌아 오지 못하는 성질
○ 훅의 법칙(Hooke's law) : 용수철을 당기는 힘에 비례하여 길이가 늘어난다는 법칙
○ 수식 : F ∝ x (변형된 길이) → F = -kx
○ 음의 부호는 늘어난 길이의 반대 방향이라는 의미
○ 탄성계수 (용수철 상수, 스프링 상수) : 용수철을 1 m 늘릴 때 필요한 힘
○ 컴플라이언스(compliance) : 용수철 상수의 역수
○ 직렬 연결에서 용수철 상수의 변화 : 용수철을 직렬로 연결하면 더 쉽게 늘어나서 용수철 상수는 작아짐
○ 병렬 연결에서 용수철 상수의 변화 : 용수철을 병렬로 연결하면 더 많이 힘이 드므로 용수철 상수가 커짐
○ 탄성력에 의한 단진동
④ 수직항력(normal force) : 수직항력의 본질은 물체의 압축에 의한 탄성력
○ 모든 물체는 용수철처럼 압축될 수 있음. 모든 물체는 용수철처럼 훅의 법칙이 성립
○ 막대에서 길이 방향으로만 수직항력이 성립하는 이유
⑤ 장력(tension)
○ 정의 : 줄의 각 부분들이 서로 이웃한 부분을 잡아당기는 힘
○ 특징 1. 외력은 줄의 양쪽을 잡아당기는 방향으로 작용함 : 반작용으로 장력은 양 말단의 물체를 잡아당기기만 함
○ 특징 2. 양 말단에 붙어 있는 물체에 작용하는 장력의 크기는 같음
○ 장력 ≥ 0이라는 조건으로부터 부등식이 만들어지므로 역학적 평형에서 최대·최소 조건을 만드는 데 관여함
⑥ 마찰력(friction force) : 수직항력으로부터 기인하여 물체의 운동을 방해하는 힘
f = μN
○ 마찰력이 수직항력에 비례하는 이유
Figure. 1. 마찰력이 수직항력에 비례하는 이유
○ 경우 1. 물체의 형태가 일정한 경우
○ 수직항력이 두 배가 되면 물체는 두 배 더 압축됨
○ 두 배 더 압축되면 움푹 꺼진 바닥면이 물체의 옆면과 접촉하는 면적이 두 배가 됨
○ 물체가 정지한 경우 면적에 비례한 마찰력이 물체의 운동을 저지함
○ 물체가 운동하는 경우 물체는 면적에 비례하는 만큼 밀어내면서 나아가야 함
○ 경우 2. 물체의 폭이나 너비가 두 배가 되는 경우
○ 수직항력이 일정한 경우 꺼진 높이는 반이 됨
○ 이유 : 표면적이 두 배이므로 응력은 반이 되면 족함
○ 표면적이 두 배이고 꺼진 높이는 반이므로 바닥면이 물체의 옆면과 접촉하는 면적이 불변함
○ 결론 : 물체의 형태는 수직항력에 영향을 주지 않음
○ 위와 같은 사고실험의 한계
○ 한계 1. 물체의 바닥면에 대한 고려가 부족함 : 물체의 옆면만 고려함
○ 한계 2. 바닥면에 대해 그 자체로 근사법칙인 훅의 법칙을 적용
○ 마찰력이 수직항력에 비례하는 것은 근사적인 결론에 불과
○ 종류 1. 정지마찰력(static frictional force) : 물체가 정지했을 때의 마찰력
○ 정지해 있는 물체의 알짜힘은 0이기 때문에 외력과 평형을 이룸
○ 종류 1-1. 최대 정지마찰력 : 물체의 정지마찰력의 한계, 즉 물체가 움직이기 직전의 마찰력
○ 최대 정지마찰력은 마찰력 중에서 가장 큼
○ 지면과 각 θ를 이루는 빗면에서의 수직방향 힘
○ 지면과 각 θ를 이루는 빗면에서의 수평방향 힘
○ 지면과 각 θ를 이루는 빗면에서의 최대 정지마찰력
○ 종류 2. 운동마찰력(동마찰력, kinetic frictional force) : 물체가 운동하고 있을 때 작용하는 마찰력
○ 운동 마찰계수는 정지 마찰계수보다 작음
○ 종류 3. 구름마찰력(rolling friction force)
○ 정의 : 변형 가능한 수평면에서 헛돌면서 발생하는 마찰력
○ 구름 마찰력의 크기 유도
Figure. 2. 변형이 가능한 표면 위에서 강구(rigid sphere)의 구름 마찰력
○ W : 물체의 무게
○ r : 물체의 반지름
○ F : 물체가 구를 수 있도록 필요한 최소한의 외력. 구름 마찰력, 구름 저항이라고도 함
○ c : 구름저항계수
○ (주석) 물체가 구를 수 있도록 하기 위한 최소 조건과 모멘트가 0이 되는 것이 같음은 직관적으로 이해해야 함
○ 일반적으로 표면 자체가 강체인 경우 c = 0이며 구름마찰력은 발생하지 않음
○ 응용 1. 슬립률 : 1 - (한 바퀴 구름으로써 실제 무게중심 이동거리) / (미끄럼이 없을 때 한 바퀴 구름으로써 무게중심 이동거리)
○ 슬립률은 자동차 바퀴에서 중요하게 논의됨
○ 마찰력과 슬립률의 관계
Figure. 3. 마찰력과 슬립률의 관계
○ 마찰력은 슬립률이 10~15%일 때 가장 강함
○ 슬립률 = 0인 경우 강체의 회전운동에 준하는 상황으로 오직 정지마찰력이 작용함
○ 슬립률이 0일 때부터 마찰력이 최대일 때까지는 정지마찰력이 우세하고, 그 이상의 슬립률일 때는 운동마찰력이 우세함
○ 종류 4. 내부마찰력
○ 마찰계수 측정
○ 경사법 : 물체가 놓인 평면과 θ만큼 경사지게 할 때 움직이기 시작한 순간을 이용해 정지마찰계수 측정
○ 마찰면 이동법 : 정지마찰계수와 동마찰계수를 동시에 측정할 수 있음
⑦ 공기저항력(air resistance) : 공기에 의한 마찰력
○ 종단속도 (terminal velocity) : 자유낙하하는 물체가 공기저항을 받아 더 이상 속도가 증가하지 않을 때의 속도
○ 사람의 종단속도 : 200 km/h
○ 달걀의 종단속도 : 120 km/h
○ 레이놀즈 수(Re) < 1, 즉 물체가 작거나 느린 경우 : 저항력은 대부분 점성저항(∝ v)
○ 레이놀즈 수(Re) > 1,000, 즉 물체가 크거나 빠른 경우 : 저항력은 대부분 압력저항(∝ v2)
○ 공기저항력은 추력과 양력을 생성
○ 추력(thrust) : 프로펠러를 회전시키거나 물질을 분사하는 등 물체에서 나아가게 하는 힘
○ 양력(lift) : 유체 속에 있는 물체가 수직으로 받는 힘
⑷ 종류 1-3. 약한 핵력(weak nuclear force) : 핵반응에 관여
⑸ 종류 1-4. 강한 핵력(strong nuclear force) : 양성자와 중성자의 결합
⑹ 종류 2. 관성력 (inertial force)
① 정의 : 관찰의 기준이 되는 관성계가 가속되는 경우 생기는 상대적인 효과, 즉 가상의 힘
② 크기 : 물체의 질량 × 관성계의 가속도
③ 방향 : 관성계가 가속되는 방향과 반대 방향
④ 예 1. 위로 a만큼 가속하는 엘리베이터와 같이 운동하는 관찰자 : 관찰자는 아래로 ma만큼의 관성력을 관찰함
⑤ 예 2. 아래로 a만큼 가속하는 엘리베이터와 같이 운동하는 관찰자 : 관찰자는 위로 ma만큼의 관성력을 관찰함
⑥ 예 3. 원운동하는 계와 같이 운동하는 관찰자 : 관찰자는
만큼의 원심력이라는 관성력을 관찰함
⑺ 종류 2-1. 코리올리 힘
3. 힘의 분석 [목차]
⑴ 자유물체도(free body diagram) (추후 업데이트)
⑵ 힘의 합성
① 두 힘의 합성 시 평행사변형 법을 이용
② 알짜힘 : 물체에 작용하는 힘을 모두 합한 것
⑵ 힘의 분해
① 하나의 힘도 서로 다른 두 힘이 합쳐진 것으로 간주할 수 있음
② 빗면에서의 힘의 분해
○ 지면에 대해 각 θ만큼 벌어진 빗면에 대하여
○ 물체가 빗면과 나란한 방향으로 작용하는 힘 : 단, 물체의 질량은 m
○ 물체가 빗면의 수직한 면 방향으로 작용하는 힘 : 단, 물체의 질량은 m
⑷ 힘의 평형
① 정의 : 크기가 같고 서로 반대 방향의 힘이 물체에 작용하는 경우
② 현상 : 알짜힘이 0임
③ (구별개념) 작용-반작용의 법칙
○ 힘의 평형은 한 물체에 작용
○ 작용-반작용은 두 물체에 작용
4. 질량중심(무게중심) [목차]
⑴ 개요
① 정의 : 물체에서 전체 중력이 한 점에 작용하는 것으로 볼 수 있는 점
② 수식화
③ 예제
○ 상황 : 철판 면적의 1/4인 A 부분을 잘라내었음
○ 질량중심의 좌표
⑵ 무게중심의 위치와 안정성
① 안정성
○ 정의 : 물체가 평형상태에서 벗어났을 때 원래의 평형 상태로 돌아가려는 성질
○ 안정한 평형상태
○ 정의 : 퍼텐셜 에너지가 아래로 볼록한 함수를 그리는 경우
○ 물체는 퍼텐셜 에너지가 가장 작은 곳으로 가려고 함 → 안정성이 있음
○ 불안정한 평형상태
○ 정의 : 퍼텐셜 에너지가 위로 볼록한 함수를 그리는 경우
○ 물체는 퍼텐셜 에너지가 가장 작은 곳으로 가려고 함 → 안정성이 없음
② 무게중심의 위치와 물체의 평형 깨짐
Figure. 5. 무게중심의 위치와 물체의 평형 깨짐
(가)는 평형을 유지하고 (나)는 평형을 유지하지 못함
○ 평형 유지 : 물체의 무게중심에서 내린 연직선이 바닥면을 지나는 경우 원래 위치로 돌아가려는 돌림힘 작용
○ 평형 깨짐 : 물체의 무게중심에서 내린 연직선이 바닥면에서 벗어난 경우 원래 위치에서 멀어지는 돌림힘 작용
③ 물체의 안정성을 높이는 방법
○ 무게중심을 낮춰야 안정성 향상
○ 바닥면을 넓게 해야 안정성 향상
입력: 2016.06.26 21:05
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