【물리학】 역학 1강. 벡터와 스칼라

역학 1강. 벡터와 스칼라

 

추천글 : 【물리학】 물리학 목차 

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1. 물리량의 표현 : 스칼라 [본문]

2. 물리량의 표현 : 벡터 [본문]

3. 물리량의 표현 : 텐서 [본문]

4. 뉴턴역학의 다양한 접근 [본문]

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a. 유기화학과 벡터의 외적

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1. 물리량의 표현 : 스칼라(scala) [목차]

⑴ 정의 : 크기만을 갖는 물리량

① 어원 : '계단' 또는 '사다리'를 뜻하는 라틴어 scalae → scalaris → scala 

② 예 : 시간, 길이, 넓이, 부피, 속력, 질량, 온도, 일, 에너지

⑵ 사칙연산이 자유로움

 

 

2. 물리량의 표현 : 벡터(velocity) [목차]

⑴ 정의 : 방향과 크기를 갖는 물리량

① 어원 : '나르다'라는 의미의 라틴어 vehere → vectus → vector

② 예 : 힘, 변위, 속도, 운동량, 충격량, 전기장, 자기장 

⑵ 벡터의 표시

① 화살표로 나타내는 경우 : 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타냄. 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냄 

② 기호로 나타내는 경우

 

 

③ 절댓값 기호

 

 

⑶ 연산 1. 벡터의 덧셈 

① 방법 : 평행사변형법, 삼각형법

② 특징 1. 교환법칙

 

 

③ 특징 2. 결합법칙

 

 

⑷ 연산 2. 벡터의 뺄셈

 

 

⑸ 연산 3. 벡터와 스칼라의 곱

 

 

⑹ 연산 4. 벡터의 성분 분해

① 정의 : 각 벡터를 직교좌표 방향의 각 성분 벡터로 분해하는 것 

② 수식화

 

 

⑺ 연산 5. 스칼라곱(내적, scalar product, dot product)

 

 

⑻ 연산 6. 벡터곱(외적, vector product, cross product)

① 외적의 정의 : v, w ∈ ℝⁿ에 대하여 다음 3가지 연산을 만족하는 연산을 의미 

○ v × w는 순서쌍 (v, w)의 연속함수

○ v × w는 v 및 w와 수직함 : (v × w) · v = (v × w) · w = 0

○ v와 w가 선형독립이면 v × w ≠ 0

② 외적의 방향 : right-hand rule을 따름 

 

Figure. 1. 외적의 방향

 

③ 3차원 벡터 

○ 단위 벡터의 벡터곱 : (주석) i → j → k 순으로 연산을 하면 마이너스 부호가 붙지 않음

 

 

○ 기본 수식 : 단위 벡터의 벡터곱을 이용하면 증명할 수 있음

 

 

○ 벡터곱의 방향 : A에서 B로 오른손을 감아쥘 때 엄지손가락의 방향 

○ 교환법칙이 성립하지 않음

 

 

○ 평행육면체의 부피 : 벡터 a, 벡터 b, 벡터 c가 만드는 평행육면체의 부피는 다음과 같음

 

 

○ 백캡룰(BAC-CAB rule) 

 

 

○ 증명 1. 단순 수식 전개

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 1. 백캡룰 증명

 

○ 증명 2. 어떤 상황에서 백캡룰이 성립하고, 크기 변환 및 좌표계 회전 변환에 대해 식의 성립 여부가 보존되므로 수학적 귀납법에 의해 백캡룰이 항상 성립함 (필자의 제안 원리)

○ 어떤 상황 : A = (1, 0, 0), B = (p, q, 0), C = (t, 0, s)에서 백캡룰의 성립 여부를 쉽게 보일 수 있음

 

 

○ 크기 변환에 대해 백캡룰 성립 여부의 보존은 내적 및 외적 연산이 각 벡터의 크기에 1차 비례함으로부터 자명하게 도출

○ (B × C) 및 A × (B × C)의 방향이 좌표계 회전에 대해 A, B, C와 동일하게 변하므로 백캡룰 성립 여부는 최종 증명됨

④ 다차원 벡터에서의 외적의 정의 

○ 외적을 정의할 수 있는 것은 3차원 또는 7차원에 한함 (ref)

 

 

3. 물리량의 표현 : 텐서(tensor) [목차]

⑴ 응용 1. 유체역학 미분형 방정식 

⑵ 응용 2. 일반 상대성 이론

 

 

4. 뉴턴역학의 다양한 접근 [목차]

⑴ 뉴턴(Newtonian) 해석

① 힘과 가속도 등의 벡터량을 통해 역학적인 분석을 하는 것

⑵ 라그랑지안(Lagrangian) 해석

① 에너지 등의 스칼라량을 통해 역학적인 분석을 하는 것

② L (Lagrangian) = T (kinetic energy) - U (potential energy)

⑶ 해밀턴(Hamiltonian) 해석

① 해밀턴 H = Σ p_i q_i' - L

○ p_i : generalized momenta

○ q_i : generalized coordinate 

② 단일 입자만 있는 단일 시스템에서는 H (Hamiltonian) = T (kinetic energy) + U (potential energy)로 표현할 수 있음

③ 양자역학에서의 해밀턴 

 

 

⑷ 에르미트(Hermitian) 해석

① 양자역학에서의 에르미트 

 

 

② Hamiltonian은 항상 Hermitian operator에 해당함 

 

입력: 2016.06.26 21:05

수정: 2023.10.07 21:55