【물리학】 물리1 역학 고난이도 문제 #5

물리1 역학 고난이도 문제 #5

 

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1. 벽에 기대어 있는 물체의 낙하 : 2020년 1회, 2회 통합 기계기사

⑴ 문제

그림과 같이 질량이 10 kg인 봉의 끝단이 홈을 따라 움직이는 블록 A, B에 구속되어 있다. 초기에 θ = 0°에서 정지하여 있다가, 블록 B에 수평력 P = 50 N이 작용하여 θ = 45°가 되는 순간의 봉의 각속도는 약 몇 rad/s인가? (단, 블록 A와 B의 질량과 마찰은 무시하고, 중력가속도 g = 9.81 m/s²이다.) 

 

 

⑵ 풀이

① 질량중심의 속도와 각속도의 관계

 

 

② 에너지 보존 법칙 적용

 

 

 

2. 쇠사슬의 낙하 

⑴ 문제

수직하여 낙하 중인 체인에서 낙하거리를 x(t), 낙하시간을 t, 사슬의 길이를 L, 중력가속도를 g, 선밀도를 λ라고 했을 때 다음을 유도하라.

 

 

 

⑵ 풀이 : 식을 전개하는 게 아니라 직관을 활용해야 하는 문제

① 전체적인 흐름

 

 

○ "힘 = 운동량의 변화율"을 이용 : F = ma는 특수한 경우이고 원래는 F = dp/dt가 맞음

○ "운동량 = 질량 × 속도"를 이용 : 이때 질량에 해당하는 부분은 떠 있는 부분인 λ(L - x)이고, 속도는 위치의 시간당 변화율

② 외력이 일정한 이유

○ 사슬은 낙하할 때 smooth하게 낙하해야 함 : 소리 등을 발생시키면 에너지 손실이 있어 어떤 방정식도 세울 수 없음

○ 땅과 가까운 부분부터 1번, 2번, ··· 사슬이라 할 때, 

○ 1번 사슬이 낙하할 때

○ smooth하게 낙하하므로, 낙하 직전 1번 사슬에 가해지는 중력만큼, 1번이 2번 사슬을 당겨야 함

○ 2번 사슬이 낙하할 때

○ smooth하게 낙하하므로, 낙하 직전 2번 사슬에 가해지는 중력 + 1번 사슬이 당기는 힘만큼, 2번이 3번 사슬을 당김

○ 즉, 3번 사슬 아래쪽 사슬의 중력의 합만큼 3번 사슬을 당겨야 함

○ 3번 사슬이 낙하할 때

○ smooth하게 낙하하므로, 낙하 직전 3번 사슬에 가해지는 중력 + 2번 사슬이 당기는 힘만큼, 3번이 4번 사슬을 당김

○ 즉, 4번 사슬 아래쪽 사슬의 중력의 합만큼 4번 사슬을 당겨야 함

○ 이런 식으로 외력은 계속해서 전달됨 → 외력은 시간과 무관하게 일정

○ 다른 해석 : 공중에 있는 사슬은 땅이 있든 없든 자유낙하를 하고 있으므로, 땅이 없어서 전체 사슬이 자유 낙하하는 상황과 정보의 종류가 다르면 안 됨. 즉, F_ex = λLg = 일정 

③ 응용 : 무지개 링이 낙하하는 경우 

 

 

○ 맨 위와 가까운 부분부터 1번, 2번, ··· 링이라 할 때,

○ 1번 링의 장력이 줄어드는 만큼, 2번 링이 나머지 아래쪽 무지개 링들을 잡아당기게 됨 

○ 1번 링이 2번 링과 붙고 나서 2번 링의 장력이 줄어드는 만큼, 2번 링이 나머지 아래쪽 무지개 링들을 잡아당기게 됨

○ 1, 2번 링이 3번 링과 붙고 나서 3번 링의 장력이 줄어드는 만큼, 3번 링이 나머지 아래쪽 무지개 링들을 잡아당기게 됨

○ 이런 식으로 각 링들은 원래 중력장에서 평형을 유지했던 것처럼 자기 차례가 오기 전까지는 여전히 평형을 유지하게 됨

○ 다른 해석 : 각 링들은 위에서 무슨 일이 일어나든 탄성력의 변화의 형태로 정보를 달리 전달하기 전까지는 상태가 변하지 않음

 

 

3. 블록 쌓기 문제(동전 쌓기 문제)

⑴ 문제

블록을 쌓다보면, 피사의 사탑처럼 높이뿐만 아니라 가로로도 길어지게 쌓을 수 있다. 

 

출처 : 이미지 클릭

 

바람의 영향 등을 무시할 때, 얼마나 길게 가로로 쌓을 수 있을까? 단, 블록의 길이를 L, 블록의 선질량 밀도를 λ라고 하자. 

⑵ 풀이 

① 접근

○ 블록들을 수직으로 곧게 쌓은 뒤, 맨 위부터 최대한 오른쪽 옆으로 미는 상황을 보면 주어진 문제를 답할 수 있음 

○ "최대한"의 의미 : 각 블록이 바로 아래 블록의 오른쪽 끝 모서리에 대하여 간신히 알짜 돌림힘이 0이 되는 상황

○ 위에서부터 m번째 블록이 바로 아래의 블록에 대하여 최대한 오른쪽 옆으로 이동한 거리를 x_m이라고 정의  

② 1번 블록 분석

 

 

 

③ 2번 블록 분석

 

 

 

④ 수학적 귀납법 가정 

 

 

⑤ n번 블록 분석

 

 

 

⑥ 결론

 

 

○ 조화수열의 급수는 발산하므로 무한히 옆으로 길게 쌓을 수 있음 

 

 

4. π가 나타나는 충돌 문제 

⑴ 문제

질량 m인 작은 블록과 질량 M인 큰 블록(M ≫ m)이 나란히 놓여 있고, 벽은 작은 블록의 반대편에 고정되어 있다. 초기에 작은 블록(m)은  정지해 있고, 큰 블록(M)은 작은 블록(벽이 있는 쪽)으로 움직인다. 전체 충돌횟수(= 가벼운 블록과 벽의 충돌횟수 + 무거운 블록과 가벼운 블록의 충돌횟수)가 π의 정수배에 근접함을 증명하여라. (단, 탄성 충돌을 가정하고 마찰, 충돌 등으로 인한 역학적 에너지 손실은 무시한다.)

 

 

⑵ 풀이

X = √M v_M, x = √m v_m이라고 정의하자.

그러면 운동 에너지 보존법칙에 의해 (X, x)는 X² + x² = (상수)인 원 위에서 움직임을 알 수 있다.

 

 

무거운 블록과 가벼운 블록 간의 충돌은 특정 직선에 대한 반사 변환으로 이해할 수 있다. 

 

 

참고로, AA^T = A^TA = I를 통해 등거리 변환임을 확인하고, det(A) = 1이면 반사 변환이 아니라 회전 변환이 된다. (ref)

더 구체적으로는 기울기 t인 직선에 대한 반사 변환이 다음과 같으므로, A와 대응되는 직선의 기울기는 √(m / M)이다.

 

 

가벼운 블록과 벽 간의 충돌은 (v_M, v_m) ↦ (v_M, -v_m) ⇔ (X, x) ↦ (X, -x) 와 같은 변환(= X축에 대한 반사 변환)으로 이해할 수 있다.

X축에 대한 반사 변환과 대응되는 행렬을 B라고 하면, 동일하게 BB^T = B^TB = 1, det(B) = -1이 성립한다. 

그러므로 가벼운 블록이 무거운 블록과 충돌하고 벽과 충돌한 뒤의 상태는 행렬 BA와 대응되어 회전 변환이다.

 

 

BA와 대응되는 회전 변환의 회전각은 2 × (두 직선이 이루는 각) = 2 arctan(√(m / M))이고, 회전 중심은 이 경우 원점이다.

 

 

시스템의 초기 상태는 양의 X축 위에 있다. 

직관적으로, X² + x² = (상수)인 원에서 π 정도 회전하면 더 이상 충돌이 일어나지 않는 지점에 도달한다.

왜냐하면, 음의 X축 위에 있는 상태는 작은 블록은 가만히 있고, 큰 블록은 초기와 반대 방향으로 운동하는 상태이기 때문이다.

이 경우 전체 충돌 횟수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, ϕ는 회전각)

 

 

위 수식에 따라 M ≫ m일수록 "π 정도 회전"이 π에 가까워져 (∵ ϕ ≃ 0), 충돌 횟수와 π의 관계가 더 두드러지게 나타난다.

 

입력: 2020.08.17 00:22

수정: 2023.01.28 11:53