제 12회
한국수학경시대회(KMC)
※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)
※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.
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1. 오른쪽 그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 ABC의 변 BC의 중점을 M이라 하고, M을 지나고 변 BC에 수직인 직선이 원과 만나는 점을 D, 선분 AD와 변 BC가 만나는 점을 E라고 하자. (BC) ̅=5, (AC) ̅=4, (AB) ̅=6일 때, (AE) ̅의 값을 구하여라. 단, 외심을 O라고 하자. [15점]
Solution
36+25-2×6×5 cosB=16 ⇒cosB=3/4 ,sinB=√7/4.
⇒ A와 선분 BC 사이의 거리 =(AB) ̅sinB=(3√7)/2,외접원의 반지름 =(8√7)/7
⇒ A와 B 사이의 x축 거리 =(AB) ̅cosB=9/2
36+16-2×6×4 cosA=25 ⇒cosA=9/16 ,sinA=(5√7)/16.
⇒ (CM) ̅=Rsin(1/2∠BOC)=Rsin(∠A)=(8√7)/7×(5√7)/16=5/2
⇒ (OM) ̅=Rcos(1/2∠BOC)=Rcos(∠A)=(8√7)/7×9/16=(9√7)/14
∴ (AE) ̅=((3√7)/2)/((3√7)/2+((8√7)/7-(9√7)/14)) (AD) ̅=3/4 √(〖(9/2-5/2)〗^2+((3√7)/2+((8√7)/7-(9√7)/14))^2 )=(3√23)/8
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2. 네 개의 양수 a, b, x, y가 a^8+b^8=x^4+y^4=1을 만족시킬 때, a^2 x^3+b^2 y^3 의 최댓값을 구하여라. [15점]
Solution
a^2 x^3+b^2 y^3=√((a^2 x^3+b^2 y^3 )^2 )≤√(((a^4 x^2+b^4 y^4 )(x^4+y^4 ))^2 )
=√((a^4 x^2+b^4 y^4 )^2 )=√(a^8 x^4+b^8 y^4+2a^4 b^4 x^2 y^2 )
≤√(a^8 x^4+b^8 y^4+a^8 y^4+b^8 x^4 )=√((a^8+b^8 )(x^4+y^4 ) )=1
단, 등호조건은 (a,b,x,y)=(1,0,1,0) 등이다.
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3. 정 n각형에서 가장 긴 대각선의 길이와 가장 짧은 대각선의 길이의 차가 한 변의 길이와 같도록 하는 n을 모두 구하여라. [15점]
Solution
1) n=2k-1,k≥3:
ⓐ 가장 긴 대각선의 길이: 2 rsin(1/2 ((2k-2)/(2k-1))π)=2 rsin((k-1)/(2k-1) π)
ⓑ 가장 짧은 대각선의 길이: 2 rsin(1/2 (4/(2k-1))π)=2 rsin(2/(2k-1) π)
ⓒ 한 변의 길이: 2 rsin(1/2 (2/(2k-1))π)=2 rsin(1/(2k-1) π)
k=5인 경우, sin〖4/9 π〗-sin〖2/9 π〗=2 cos〖6/18 π〗 sin〖2/18 π〗=sin〖1/9 π〗이다.
ⓐ-ⓑ-ⓒ는 증가함수이므로(∵ ⓐ의 경우 위상이 π/2로 수렴) 해는 k=5로 유일.
2) n=2k,k≥2:
ⓐ 가장 긴 대각선의 길이: 2 rsin(1/2 (2k/2k)π)=2r
ⓑ 가장 짧은 대각선의 길이: 2 rsin(1/2 (4/2k)π)=2 rsin(1/k π)
ⓒ 한 변의 길이: 2 rsin(1/2 (2/2k)π)=2 rsin(1/2k π)
sin 1/5 π+sin 1/10 π<1/5 π+1/10 π<1<sin〖1/4 π〗+sin 1/8 π=1/√2+√((√2-1)/(2√2))임을 쉽게 알 수 있다.
ⓐ-ⓑ-ⓒ는 증가함수이므로 해는 없다.
따라서 n=9이다.
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4. 다음 <조건>을 만족시키는 양수 x를 모두 구하여라.
임의의 양수 a와 b에 대해 (ab-x)^2≥(a-x)(b-x) 이다.
Solution
우선 a=b=t인 경우를 가정하자.
이때, (t^2-x)^2≥(t-x)^2 ⇔t(t-1)(t^2+t-2x)≥0이 성립해야 한다.
t=1 부근에서 t(t-1)(t^2+t-2x)의 부호가 바뀌지 않으려면 2x=1^2+1=2여야 한다.
이제 x=1에서 정말로 준 식이 성립하는지 보이자.
a≥1,b≤1이거나 a≤1,b≥1인 경우 우변이 0 이하이므로 쉽게 보일 수 있다.
a≥1,b≥1인 경우, ab-1≥a-1≥0,ab-1≥b-1≥0이므로 준 식이 성립한다.
a≤1,b≤1인 경우, 1-ab≥1-a≥0,1-ab≥1-b≥0이므로 준 식이 성립한다.
따라서 x=1이 주어진 조건을 만족하는 유일한 해이다.
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5. a<b<c<d<e<f이고 {a,b,c,d,e,f}={u,v,w,x,y,z}일 때, uv+wx+yz의 최솟값은 af+be+cd임을 보이시오. [20점]
Solution
p>q이고, m>n일 때, pm+qn-pn-qm=(p-q)(m-n)>0임을 주목하자. (*)
A={A_1,A_2,⋯,A_2n }={B_1,B_2,⋯,B_2n}에서 B_1 B_2+ ⋯,B_(2n-1) B_2n의 최솟값을 min┬2A라 하자.
임의의 {u,v,w,x,y,z}에 대해,
uv+wx+yz=a?+f?+??≥af+min_2 {b,c,d,e}=af+be+cd
(∵ (*)을 두 차례 적용하였다.)
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6. 임의의 자연수 n에 대하여 다음 <조건>을 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍 {a,b,c,d}의 개수를 n에 관한 식으로 나타내어라. [20점]
(i) c≤b (ii) b+d≤n (iii) a+c+d≤n
Solution
주어진 조건 하에 c≤A이고, a+c≤B인 경우의 수를 D_(A,B)라고 하자.
D_(A,B)=∑_(c=0)^A(B-c+1) =(B+1)(A+1)-1/2 A(A+1)=1/2(A+1)(2B-A+2)
따라서 전체 경우의 수는,
∑_(b=0)^n∑_(d=0)^(n-b)D_(b,n-d) =1/2 ∑_(b=0)^n∑_(d=0)^(n-b)[(b+1)(2(n-d)-b+2)]
=1/2 ∑_(b=0)^n[(b+1)(2n-b+2)(n-b+1)-(n-b)(n-b+1)(b+1)]
=1/2(n+2)∑_(b=0)^n〖(b+1)(n-b+1)〗
=1/2(n+2)∑_(b=0)^n〖(bn-b^2+n+1)〗
=1/2(n+2)(n (n(n+1))/2-n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2 )
=1/2 (n+1)(n+2)(1/2 n^2-1/6 n(2n+1)+(n+1))
=1/12 (n+1)(n+2)(3n^2-2n^2-n+6n+6))
=1/12 (n+1) (n+2)^2 (n+3)
math& 2.docx
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