제 13회 KMC 한국수학경시대회 고등부(2학년) 2차 #01~06

제 13회                                                                     

한국수학경시대회(KMC)

※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

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제 13회       

한국수학경시대회

※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

1. 오른쪽 그림과 같이 (AE) ̅=a, (AC) ̅=√3 a인 직사각형 ACDE가 있다. 이때 (AB) ̅⊥ (AD) ̅, (AB) ̅=(AC) ̅, ∠BAC<90°가 되도록 점 B를 잡는다. 또한 (AE) ̅의 중점 M, (DE) ̅의 중점 N에 대하여, (CM) ̅과 (AD) ̅의 교점을 P, (CN) ̅과 (AD) ̅의 교점을 Q라고 하자. 이때 다음 물음에 답하여라. 

(1) 점 C와 (AD) ̅ 사이의 거리를 구하여라. [7점]

(2) □PQNM = 35√3일 때, a의 값을 구하여라. [8점]

Solution

(1) (AB) ̅=√3 a이므로 (BD) ̅=√((√3 a)^2+(√(a^2+(√3 a)^2 ))^2 )=√7 a. 

∠CAD=30°이므로 (BC) ̅=(AB) ̅=(AC) ̅=√3 a, ∠BCA=150°. 

따라서 △BCD=  1/2×√3 a×a×1/2=1/2×√7 a×h.

∴ 점 C와 (AD) ̅ 사이의 거리 h=  (√3 a)/(2√7).

(2) (CP) ̅ ∶ (PM) ̅= (CD) ̅ ∶ (AM) ̅=2∶ 1.

 □PQNM = 5/9×△CMN=  5/9 (1-1/4-1/4-1/8)×√3 a^2=35√3.

∴ (5√3)/24 a^2=35√3이므로 a=2√42.

 

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※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

2. 좌표평면 위의 점 P(loga,logb)는 제1사분면에 있고, 점 Q(loga,0)는 양의 x축 위에 있다. 점 R(logc,logd)가 △OPQ 의 내부에 있고 a^2>b, d^2>c를 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. (단, O는 원점이다.) [15점]

√ac<bd< (ac)^2,ad^2<b^2 c

Solution

주어진 조건 a^2>b에 의하여 P가 y=2x 아래에 있다. 따라서 R도 y=2x 아래에 있다.

주어진 조건 d^2>c에 의하여 R이 y=0.5x 위에 있다. 따라서 P도 y=0.5x 위에 있다.

따라서 (OP) ⃗+(OR) ⃗=(log⁡a+log⁡c,log⁡b+log⁡d )=(log⁡ac,log⁡bd )  는 y=tx,0.5<t<2 상에 있다.

∴ 0.5 log⁡ac=log⁡√ac<log⁡bd<2 log⁡〖ac=log⁡〖(ac)^2 〗 〗 ⇔ √ac<bd<(ac)^2이다.

또한 P가 (OR) ⃡ 위에 있고, R이 y=0.5x 위에 있다.

따라서 (OP) ⃗-(OR) ⃗=(log⁡a-log⁡c,log⁡b-log⁡d )=(log⁡〖a/c〗,log⁡〖b/d〗 )는 y=0.5x 위에 있다.

∴ log⁡(b/d)>1/2  log⁡(a/c)   ⇔ 〖ad〗^2<b^2 c.

 

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※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

3. 4차항의 계수가 1이고 각 계수가 정수인 4차식 f(x)와 정수 n에 대하여 g(x)=(x-n)f(x)라 하자. 다음 두 <조건>을 모두 만족시키는 f(x)와 n을 구하여라. [15점]

(i)  g(4)=13,   g(9)=8,(ii)  f(x)=f(-x)

Solution

(ii)에 의해 f(x)는 짝수 차수 항으로만 되어 있다.

따라서 f(x)=x^4+Ax^2+B라고 둘 수 있다.

g(4)=(4-n)(256+16A+B)=13, g(9)=(9-n)(〖81〗^2+81A+B)=8.

이때 4-n | 13이고(ⓐ), 9-n | 8임(ⓑ)을 이용하자.

ⓐ에 의해 n=3,5,17이고, ⓑ에 의해 n=1,5,7,8,10,11,13,17이다.

① n=5인 경우: 

-13=256+16A+B, 2=6561+81A+B

변끼리 빼주면 65A+6290=0⇒  A ≠ 정수. (x)

② n=17인 경우:

-1=256+16A+B, -1=6561+81A+B

변끼리 빼주면 65A+6305=0 ⇒ A=-97, B=1295

따라서 f(x)=x^4-97x^2+1295이다.

 

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※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

4. 음이 아닌 실수 전체의 집합을 P라 하고 A={x ┤|0<x≤6}라 하자. 함수 f∶A →P가 다음 두  <조건>을 만족시킬 때, f(1),f(2),f(3)의 값을 구하여라. [15점] 

 (i)  f(6)=1,               (ii)  x+y≤6인 임의의 양수 x,y에 대하여 f(x+y)=f(x)f(y)/(√(f^2 (x)-1)+√(f^2 (y)-1))    

Solution

(1) f(3)= ?

f(6)=f(3+3)=(f^2 (3))/(2√(f(3)^2-1))  ⇒ 4(f^2 (3)-1)=f^4 (3)  ⇒(f^2 (3)-2)^2=0 ⇒ f(3)=√2

(2) f(2)= ? 

f(2x)=(f^2 (x))/(2√(f^2 (x)-1))  ⇒ f(2+4)=((f^3 (2))/(2√(f^2 (2)-1)))/(√(f^2 (2)-1)+√((f^4 (2))/(4(f^2 (2)-1))-1))=(f^3 (2))/(〖2f〗^2 (2)-2+| f^2 (2)-2| )

〖(i)  f〗^2 (2)>2: 1=(f^3 (2))/(3f^2 (2)-4)  ⇒ (f(2)+1) (f(2)-2)^2=0 ⇒ f(2)=2

〖(ii)  f〗^2 (2)<2: 1=f(2) ⇒ f(4)가 정의될 수 없음 (x)

(3) f(1)= ? 

f(3)=√2=(2f(1))/(√3+√(f^2 (1)-1))  ⇒ f^2 (1)-2√6 f(1)+4=0 ⇒ f(1)=√6±√2

그런데 2f(1)-√6>0이어야 하므로 f(1)=√6+√2.

 

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※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

5. 자연수 n에 대하여 다음을 간단히 하여라. (단, [x]는 x보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.) [15점] 

∑_(k=0)^(n^2-1)([√k+√(k+1)  ]+[√(4k+1)  ]) 

Solution

A_n:=∑_(k=n^2)^(〖(n+1)〗^2-1)〖([√k+√(k+1)  ]+[√(4k+1)  ])〗

([√(n^2 )+√(n^2+1)  ]+[√(4n^2+1)  ])=(2n+2n)=4n임을 주목하자.

ⓐ √k+√(k+1)<2n+1 ⇔ 2k+1+2√(k(k+1))<4n^2+4n+1

 ⟺ k+√(k(k+1))<2n^2+2n

   k=n^2+n인 경우, k+√(k(k+1))>2k=2n^2+2n (x)

   k=n^2+n-1인 경우, k+√(k(k+1))<2(k+1)=2n^2+2n

ⓑ √(4k+1)<2n+1 ⟺ 4k+1<4n^2+4n+1 ⟺ k<n^2+n

∴ A_n=∑_(k=n^2)^(n^2+n-1) 4n+∑_(k=n^2+n)^(n^2+2n)〖(4n+2)〗=8n^2+6n+2

∴(준식)=∑_(i=0)^(n-1) A_i =∑_(i=0)^(n-1)〖(8i^2+6i+2)〗=8/3 n^3-n^2+1/3 n

 

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※ 다음 문제를 읽고, 풀이 과정과 답을 명확하게 쓰시오. (답만 쓰면 안 됩니다.)

※ 1번 ~ 4번은 15점, 5번 ~ 6번은 20점입니다.

6. 자연수 n에 대하여 수열 {a_n }이 다음 점화식으로 주어져 있다.

a_1=0,   a_2=-1,   a_3=1,

a_4n=a_2n+1,   a_(4n+1)=a_2n-1,   a_(4n+2)=a_(2n+1)-1,   a_(4n+3)=a_(2n+1)+1

또, 자연수 n을 이진법의 수로 나타내었을 때, 자리수에 나타나는 인접한 00 또는 11의 개수를 b_n,인접한 01 또는 10의 개수를 c_n이라 하자. 예를 들어, 49=〖110001〗_((2))이고 자리수에 11, 10, 00, 00, 01이 인접해 있으므로 b_49=3, c_49=2이다. 

(1) a_n을 b_n과 c_n의 식으로 나타내어라. [10점]

(2) 2006 이하의 n에 대하여 a_n의 최대값과 최소값을 구하고, 그 때의 n의 값을 구하여라. [10점]

Solution

(1) a_n=b_n-c_n임을 증명하자.

k=1,2,…,4n-1에 대해 a_k=b_k-c_k이 성립한다고 가정하자.

a_4n=a_2n+1=b_2n-c_2n+1=(b_2n+1)-c_2n=b_4n-c_4n (∵ 4n의 이진수는 -〖00〗_((2)))

a_(4n+1)=a_2n-1=b_2n-c_2n-1=b_2n-(c_2n+1)=b_(4n+1)-c_(4n+1) (∵ 4n+1의 이진수는 -〖01〗_((2)))

    a_(4n+2)=a_(2n+1)-1=b_(2n+1)-(c_(2n+1)+1)=b_(4n+2)-c_(4n+2) (∵ 4n+2의 이진수는 -〖10〗_((2)))

a_(4n+3)=a_(2n+1)+1=(b_(2n+1)+1)-c_(2n+1)=b_(4n+3)-c_(4n+3) (∵ 4n+3의 이진수는 -〖11〗_((2)))

따라서 수학적 귀납법에 의하여 위 귀납가정이 성립한다.

(2 ) 2006=〖11111010110〗_((2) )

∴ a_n의 최솟값은 -10이다. (b_n을 최소로, c_n을 최대로) (e.g., 〖10101010101〗_((2) )=1365)

∴ a_n의 최댓값은 8이다. (b_n을 최대로, c_n을 최소로; c_n≥1) (e.g., 〖10000000000〗_((2) )=1024)

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[pdf 파일]

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2015.12.01. 21:31