【열전달】 3강. 정상상태의 전도 2차원

3강. 정상상태의 전도 2차원 (2D conduction in steady state)

 

추천글 : 【열전달】 열전달 목차

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1. 수학적 해석 [본문]

2. 도표적 해석 [본문]

3. 수치적 해석 [본문]

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1. 수학적 해석(analytical method) [목차]

⑴ 특징

① 정확하다.

② 임의의 점에서의 물리량을 알 수 있다.

③ 계의 기하적 형태와 경계조건에 의해 결정된다.

⑵ 수식화

Figure. 1. 2차원 열전도 모델링

 

우선 지배방정식(governing equation)은 다음과 같다.

 

 

단, 위쪽 온도가 T₂라고 가정해 보았다.

그리고 경계조건은 다음과 같다.

 

 

이제 온도차 함수 θ가 x에 대한 함수와 y에 대한 함수의 곱의 선형합으로 이뤄진다고 가정하자.

(모든 주기함수는 푸리에 무한급수로 표현가능하다. refer: 푸리에 급수의 수렴성)

따라서 θ의 해 중 하나를 θ(x, y) = X(x)Y(y)로 표시할 수 있다. (변수분리법) 

그러면 지배방정식(governing equation)은 다음과 같이 바뀐다.

 

 

Case 1. C = 0

 

 

이제 경계조건을 대입하자.

조건 (1), (3)에 의해 c₁ = 0, c₂ = 0을 얻는다.

따라서 θ = 0이 된다.

그러므로 Case 1은 적절한 경우가 아니다.

 

Case 2. C < 0

 

 

 

조건 (1), (3)을 적용하면 다음과 같다.

 

 

그러므로 Case 2는 적절한 경우가 아니다.

 

Case 3. C > 0

 

 

 

 

조건 (1), (2)에 의해 c₁ = 0, c₃ + c₄ = 0을 얻는다.

조건 (3)으로부터 다음 조건을 얻는다.

 

 

따라서 

 

 

이제 푸리에 급수(Fourier Series)를 상기해 보자.

만일 어떤 f(x)가 주기 T를 갖는 함수라면 다음과 같이 표현할 수 있다. (엄밀한 증명은 생략한다.)

 

 

이때 각 상수는 다음과 같이 나타난다.

 

 

이때 홀함수(even function)의 경우 다음과 같이 나타난다.

 

이제 θ의 식과 비교해 보자.

 

 

따라서

 

 

 

2. 도표적 해석(graphical method) [목차]

⑴ 특징

① 이산 데이터 근사

② 단순한 수학이 사용됨 

⑵ (heat) flux plot의 수치적 해석

① flux plot: 등온선(isotherms)과 열전달선(heat flow lines)으로 된 격자

② in a part

Figure. 2. 도표적 해석 모델링

 

위 그림에서 세로선은 등온선이고, 가로선은 열전달선이다.

위 2D flux plot의 두께를 t라고 하고, i 번째 파트의 열전달률을 구하면 다음과 같다.

 

만약 flux plot의 모든 파트가 Δx ≒ Δy라고 한다면 다음과 같다.

 

 

③ in a whole lane

 

Figure. 3. in a whole lane

 

 

④ in a whole area

Figure. 4. in a whole area

 

 

이때 shape factor를 다음과 같이 정의한다.

 

 

복잡한 입체 구조의 경우 위 수식을 그대로 적용할 수 없고 직·병렬 관계를 모두 고려해야 한다.

따라서 shape factor는 q가 kΔT에 비례하도록 하는 비례상수로 이해해야 한다.

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 5. shape factor^]

 

⑶ Example 1. 직육면체의 노(furnace)

a × b × c의 직육면체의 노의 내부가 열전도 계수가 k, 두께가 d로 만들었다.

노의 내부는 T₁로 유지되고 T₂로 유지될 때 벽의 열손실을 계산하는 것이 문제이다.

우선 벽의 가장자리 및 모퉁이에 대한 형태계수를 구하자.

 

 

따라서 전체 형태계수는 다음과 같다. 

 

 

따라서 단위시간 당 열손실은 다음과 같다. 

 

 

⑷ (heat) flux plot을 그리는 방법

① 1^st. (만약 있다면) 대칭축(lines of symmetry)을 그려서 몇 개의 부분으로 분할한다.

② 2^nd. 각 부분에서 등온선(isotherms)을 그린다.

○ 대칭축에 직교하도록 그린다.

③ 3^rd. 각 부분에서 열전달선(heat flow lines)을 그린다.

○ 등온선에 직교하도록 그린다.

○ 등온선과 열전달선으로 만들어진 사각형의 가로와 세로 길이가 비슷하도록 주의한다. (Δx ≒ Δy)

 

Figure. 6. 

 

④ 4^th. S의 값을 구한다; S = Mt ÷  N 혹은 표를 참고한다. 

⑤ 5^th. q = SkΔT

⑥ 6^th. q_tot = q × 대칭축으로 나뉜 부분의 개수

 

 

3. 수치적 해석(Numerical Method) or FDM(Finite Difference Method) [목차]

⑴ 특징

① 이산 데이터 근사

○ 데이터 간 간격이 작아지면(개수 ↑) 정밀도는 높아지지만, 너무 많은 개수는 반올림 에러를 높인다.

○ 데이터 간 간격이 작아질 수록 전도의 효과가 약해진다.

② 단순한 수학이 사용됨 

③ 검토하기 : 큰 덩어리를 잡아서 에너지 보존 법칙이 성립하는지 확인한다.

⑵ 내부(Conduction only) : 서로 다른 두 방법으로 해석할 수 있다.

 

Figure. 7. 수치적 해석 모델링

 

① 지배방정식

 

 

우선 테일러 전개를 해 보자.

 

 

따라서 x축 방향의 이계미분계수를 구할 수 있다.

 

 

이러한 계산은 y축 방향으로도 똑같이 적용할 수 있다.

따라서 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

 

 

만약 Δx와 Δy가 같다면(문제에 적용시 이 조건을 명심한다.) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

② 키르히호프 전류법칙 (KCL)

우선 주어진 2D diagram의 두께를 t라고 하자.

(m, n)과 (m + i, n + j) 사이에 d / kA만큼의 저항이 있는 것으로 간주할 수 있다. (i, j ∈ {-1, 1})

따라서 KCL을 적용하면 다음과 같다.

 

 

만약 Δx와 Δy가 같다면(문제에 적용시 이 조건을 명심한다.) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

③ 에너지 보존 법칙 : 아래에서 확인할 수 있다. 

⑶ 가장자리(Convection boundary)

 

 

Figure. 8. 수치적 해석 모델링

 

우선 주어진 2D diagram의 두께를 t라고 하자.

전도로 들어오는 열이 모두 대류로 나간다는 것을 이용한다.

 

 

만약 Δx와 Δy가 같다면(문제에 적용시 이 조건을 명심한다.) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

⑷ 단열된 가장자리(insulated end) : 단열된 가장자리를 거울면처럼 보면 내부의 공식을 사용할 수 있음

⑸ 상황에서 h = 0인 조건이 붙은 과 동일하다.

 

 

⑹ 코너(Corner)

 

Figure. 9. 수치해석 모델링

 

우선 주어진 2D diagram의 두께를 t라고 하자.

전도로 들어오는 열이 모두 대류로 나간다는 것을 이용하자.

 

 

만약 Δx와 Δy가 같다면(문제에 적용시 이 조건을 명심한다.) 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

입력: 2016.04.06 09:11