1강. 중력 실험
추천글 : 【물리학 실험】 물리학 실험 목차
1. 실험의 목적 [본문]
2. 이론적 배경 [본문]
3. 실험장치 및 방법 [본문]
4. 실험결과 [본문]
5. 실험결론 및 논의 [본문]
a. 운동의 법칙
1. 실험의 목적 [목차]
물리학은 다른 자연과학을 이해하는 토대가 되기 때문에 중요하다. 그 중 중력은 다음과 같은 이유로 특히 중요하다고 할 수 있다. 우선 다른 선결지식 없이도 이해할 수 있으며, 우리 주변에 존재하고 있는 보편적인 현상이다. 그러면서도 20세기 아인슈타인 일반상대성이론이나 2015년에 실시된 중력파 검출처럼 현대과학과도 밀접한 연관이 있다. 그래서 중력을 확실히 이해할 필요가 있으며, 중력가속도 측정을 통해 소기의 목적을 달성할 수 있다.
2. 이론적 배경 [목차]
2.1. 중력
중력은 지표면상에서 물체와 지구 사이의 만유인력을 지칭한다. 뉴턴은 자신의 저서 「Principia」에서 만유인력은 다음과 같다고 제시한 바 있다.
단, G는 만유인력 상수, r은 두 물체 간 거리, M, m은 각각의 물체의 질량이다. 지표면에서 이루어지는 소규모의 운동현상에서 물체와 지구 간 거리 변동이 크지 않기 때문에 일정한 중력이 관찰된다. 따라서 본 실험에서 중력가속도도 일정하게 측정돼야 한다.
2.2. 공기저항
유체역학은 상당한 불규칙성이 관찰되어, Buckingham PI Theorem을 기반으로 상당한 양의 측정데이터를 이용할 줄 알아야 한다. 다음에 소개할 데이터는 낮은 Mach 수에서 매끈한 3차원 물체의 항력계수이다.
Figure. 1. 낮은 Mach 수에서 매끈한 3차원 물체의 항력계수
2.3. 부력
유체 속에 잠긴 물체는 유체 입자로부터 압력을 받는다. 중력장 내에서 앞뒤, 좌우로부터의 압력에 의한 힘의 총합은 0이다. 하지만 중력 방향으로는 비대칭성이 있어 아래쪽 유체의 압력이 위쪽 유체의 압력보다 크기 때문에 물체를 들어 올리는 힘이 발생한다. 이를 부력이라고 한다. 해당 힘의 합력을 계산하는 데 있어 발산정리가 요구된다.
위 식을 잘 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다. 이를 아르키메데스의 원리라고 부른다.
3. 실험장치 및 방법 [목차]
첫째, 기준자를 지면에 수직하게 놓고 물체의 자유낙하를 녹화한다.
둘째, 가벼운 공, 무거운 공, 공기풍선을 매단 공, 헬륨풍선을 매단 공에 대해 각각 실시한다.
셋째, Tracker을 이용하여 물체의 운동에 대한 데이터를 얻는다.
넷째, 데이터 시트를 엑셀로 옮긴 뒤 분석한다.
4. 실험결과 [목차]
4.1. 물리량 측정
Table. 1. 물리량 측정
참고로, 풍선과 같은 타원체의 부피는 다음과 같이 측정한다.
Figure. 2. 타원체의 예
4.2. 무거운 공의 자유낙하 실험
무거운 공 실험 과정에서 축 설정이 올바르게 이루어지지 않았기 때문에 보정축과 기존축과의 사잇각 θ를 재어 무거운 공의 좌표를 보정하였다.
Figure. 3. 기울어진 실험 환경
Figure. 4. 무거운 공의 자유낙하 실험
중력가속도가 13.4 m/s2으로 측정되었다.
4.3. 가벼운 공의 자유낙하 실험
Figure. 5. 가벼운 공의 자유낙하 실험
중력가속도가 12.0 m/s2으로 측정되었다.
4.4. 공기풍선 매단 공의 자유낙하 실험
Figure. 6. 공기풍선 매단 공의 자유낙하 실험
중력가속도가 6.44 m/s2으로 측정되었다.
4.5. 헬륨풍선 매단 공의 자유낙하 실험
Figure. 7. 헬륨 풍선을 매단 공의 자유낙하 실험
중력가속도가 2.89 m/s2으로 측정되었다. 종단속도에 이른 것으로 보인다.
5. 실험결론 및 논의 [목차]
5.1. 실험 1, 2 해석
무거운 공은 13.4 m/s2, 가벼운 공은 12.0 m/s2의 중력가속도가 측정되었다. 꽤 큰 오차가 관찰되었으므로 이러한 오차의 대부분의 원인은 현상의 문제라기보다는 측정의 문제라고 보는 게 타당하다. 결과 도출 시 사용한 기준 스케일 미터는 Door Lock 문고리로 설정했는데, 낙하실험이 일어나는 지점보다 뒤쪽에 위치함을 알 수 있다.
Figure. 8. 실험 시 사용한 스케일 미터
이와 같이 스케일 미터 앞에서 실험이 이루어지면 물체의 운동이 과대평가되어 중력가속도가 더 크게 측정된다. 이를 캘리브레이션 오차라고 부른다. 그렇다면 무거운 공과 가벼운 공은 왜 차이가 나는가? 그 까닭을 이해하기 위해 공기저항의 효과가 어느 정도인지 가늠할 필요가 있다.
공기저항을 계산하려면 우선 레이놀즈 수를 계산할 필요가 있다. 이의 계산은 다음과 같다. (단, 25 ℃에서 공기의 점도는 18.6 × 10-6이다.)
자유낙하 실험에서 물체의 속도는 직관적으로 대부분 0.01 m/s를 초과한다. 따라서 Re ＞100이라고 볼 수 있으며, 이 경우 항력계수 CD는 0.5 정도로 일정하다. 이때 저항력은 압력저항이라고 불리며 속력의 제곱에 비례하는 특징이 있다.
따라서 ma = mg – FD를 풀면 다음 식을 얻는다.
이를 Wolfram Alpha로 계산하면 정확한 해를 구할 수 있고, 0.3초에서의 변위는 다음과 같다.
각각은 0.5gt2 (t = 0.3)이므로 예상 중력가속도를 계산할 수 있다.
결과에서 첫 번째 주목할 점은 계산결과가 예상외로 중력가속도 9.81 m/s2을 초과했다는 점이다. 항력계수가 항상 일정하지 않으므로 모델링의 한계가 있었던 것으로 보인다. 두 번째 주목할 점은 실험 1과 실험 2의 중력가속도의 차이를 설명할 수 없다는 점이다. 따라서 저항력은 오차 원인이 될 수 없다. 앞서 말한 캘리브레이션 오차가 많은 차이를 만든 것이다.
5.2. 실험 3, 4 해석
5.1.에서 캘리브레이션 오차가 중력가속도에 상당한 영향을 주었다. 따라서 정확한 값을 알고 있는 풍선의 크기로 측정값을 보정할 필요가 있다. 공기풍선을 매단 공은 6.44 m/s2, 헬륨풍선을 매단 공은 2.89 m/s2의 중력가속도가 측정되었는데, 각각을 보정한 결과는 다음과 같다. (5.1.의 경우 추의 크기가 몇 픽셀인지 알 수 없으므로 보정이 불가함)
Table. 1. 보정표
풍선이 있으면 부력이 생긴다. 이는 공기풍선도 마찬가지이다. 따라서 운동방정식은 다음과 같이 바뀐다. (단, 추의 저항력은 무시하며 Re ＞100이라 가정한다.)
따라서 CD = 0.5에 대하여 공기풍선과 헬륨풍선은 다음과 같다.
이를 풀면 다음 식을 얻는다.
그러자 실험 결과와 보정 중력가속도 값이 상당히 근사하게 나왔다. 하지만 수치해석을 거치면 더 가까운 결과를 얻을 수 있을 것이다. 왜냐하면 항력계수는 앞서 소개한 그래프에서 잘 나타나듯이 물체의 운동상태에 따라 계속 변하고, 중력가속도 값을 계산할 때 서로 다른 계산 과정(실험은 추세선, 이론은 y=0.5gt2 이용)을 거쳤기 때문이다. 참고로 양의 편차요인(예: 날숨 내 CO2 함량, 줄의 단진동)이 존재하지만 실험결과는 음의 편차이므로 추가로 언급하지는 않겠다.
입력 : 2019.06.28 21:29
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