【물리학 실험】 3강. 관성모멘트 실험

3강. 관성모멘트 실험

 

추천글 : 【물리학 실험】 물리학 실험 목차 

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1. 실험의 목적 [본문]

2. 이론적 배경 [본문]

3. 실험장치 및 방법 [본문]

4. 실험결과 [본문]

5. 실험결론 및 논의 [본문]

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a. 강체역학 

b. 오차이론

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1. 목적 [목차]

역학은 두 개의 보존법칙에 의해 지배된다. 하나는 운동량 보존법칙이고 다른 하나는 에너지 보존법칙으로, 에미 뇌터에 따르면 운동량 보존법칙은 공간의 대칭성에 의해 성립하고 에너지 보존법칙은 시간의 대칭성에 의해 성립한다고 한다. 병진 운동계의 경우 병진 대칭성이, 회전 운동계의 경우 회전 대칭성이 관여하는데, 병진 대칭성과 회전 대칭성은 동질적인 개념이기 때문에 이들로 인해 지배되는 병진 운동계와 회전 운동계는 상당한 유사성이 관찰된다. 본 실험에서는 회전 운동계를 병진 운동계의 개념으로 이해할 수 있음을 확인할 것이다.

 

 

2. 이론적 배경 [목차]

2.1. 회전관성과 평행축 정리

회전관성은 병진 운동계의 질량과 대응되는 개념으로 미소질량(dm)과 회전축과의 거리(r)의 제곱을 곱하여 적분한 값이다. 즉,

 

 

특징적인 물체들의 관성모멘트는 별도로 암기할 만하다. 다음은 원판과 고리(내반경: R₁, 외반경: R₂)의 회전관성이다. 

 

 

회전관성 공식은 주로 질량중심에 대해서 기술되지만, 회전중심이 항상 질량중심이라는 보장은 없다. 따라서 회전중심이 질량중심이 아닐 때 회전관성을 구할 수 있도록 공식이 도입됐는데, 이를 평행축 정리라고 한다.

 

 

2.2. 표준오차

N개의 측정값 α₁, α₂, …, α_N에 대하여 평균값과 분산은 다음과 같이 정의된다. M개의 측정값을 묶어서 평균을 취한 표본평균들을 고려하자. N개의 표본평균

 

 

의 평균과 표준편차는 다음과 같다. 

 

 

일반적으로 다음과 같은 형태로 보고한다.

 

 

일반 물리학실험에서는 신뢰계수를 50%로 잡는 다음과 같은 형태로 보고한다.

 

  

2.3. 오차의 전파이론

어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, …에 대해z = f(x, y, …)의 형태로 주어진다고 가정하자. 이 경우 z의 표준편차 σ_z는 다음과 같다.

 

 

위 공식을 적용하면 다음과 같은 유용한 공식을 얻는다.

 

 

 

3. 실험장치 및 방법 [목차]

첫째, 회전축의 반경, 각 시료의 길이, 질량을 측정한다.

둘째, 관성모멘트 측정장치와 카메라를 셋팅하고 총 6개의 실험군에 대해 실험한다: 기본, 중심과 가까운 원기둥 물체, 중심과 먼 원기둥 물체, 링, 원판. 실험 목적에 충실하기 위해 말굽형 추는 사용하지 않았다.

셋째, 관성모멘트 측정장치에 실을 감는다. 실이 연결된 추를 고정 도르래에 걸고 손으로 잡고 있는다. 그리고 녹화가 시작되면 추를 낙하시킨다.

넷째, 녹화한 영상을 Tracker로 분석하여 물체의 운동에 대한 데이터를 얻는다. 데이터 시트를 엑셀로 옮긴 뒤 분석한다.

 

 

4. 실험결과 [목차]

4.1. 물리량 측정

 

Table. 1. 측정값 (오차는 추정치)

 

4.2. 관성모멘트 측정 전략

각가속도는 다음과 같음을 상기하자. (병진운동계와의 유사성)

 

 

각변위-시간 그래프를 여러 개로 나눈다. 각변위-시간 그래프는 2π rad 단위로 분리돼 있으므로 분할할 때 이용할 수 있다. 각 분할로부터 각가속도의 표본평균을 구하자. 표본평균을 구하려면 M개의 표본이 필요하다. α와 관련된 위의 식에서 θ_t와 θ_t+Δt를 3개씩 골라(서로 다르게) M=3에 대한 표본평균을 구할 수 있겠다.

 

N=3개의 분할에 대해 표본평균에 대한 평균과 표준편차를 구하면 하나의 실험군에 대한 결과를 얻을 수 있을 것이다.

 

4.3. 결과 그래프

 

Figure. 1. 결과 그래프

 

4.4. 결과표

Table. 2. 결과표

 

5. 실험결론 및 논의 [목차]

5.1. 관성모멘트 측정장치의 자체 관성모멘트

우선 각 계산에서 각가속도를 rad/s²으로 변환하였다. 운동방정식은 다음과 같다.

 

 

오차의 전파이론을 적용하자. 우선 mgr의 표준오차는 다음과 같다.

 

 

그 결과 mgr / α의 표준오차는 다음과 같다.

 

 

또한 r²의 표준오차는 다음과 같다.

 

 

따라서 mr²의 표준오차는 다음과 같다.

 

 

최종적으로 I를 구할 수 있다.

 

 

5.2. 관성모멘트의 거리 의존성

5.1.과 동일한 계산과정을 거쳐 전체 관성모멘트를 계산하였다. 계산에 소요되는 시간을 단축하기 위해 Microsoft Excel상에서 작업하였다. 또한 각 물체의 관성모멘트를 계산하기 위해 뺄셈을 해야 하는데, 이때 다시 오차의 전파공식을 사용하였다. 마지막으로 p-value를 구하기 위해 0.6745σ_m을 σ_m으로 변환하는 과정을 거쳤다.

 

중심과 가까운 원기둥 물체의 경우, 60%의 개연성이 있는 결과가 나왔다. T.Dist.2T를 사용하였으며 자유도는 n-1=2로 두었다.

 

 

중심과 먼 원기둥 물체의 관성모멘트는 25%의 개연성이 있는 결과가 나왔다.

 

 

여기서 ‘개연성’의 정의는 | 실험값 – 예상값 |이 기존보다 더 많이 벗어날 확률을 의미한다. 예를 들면, 개연성이 100%이면 실험값이 예상값과 동일한 경우이다. 예상 값은 관성모멘트 공식을 적용하여 얻어졌다. 위 결과들을 통해 회전관성이 거리의 제곱에 비례한다는 사실이 어느 정도 확인되었다.

 

5.3. 링과 원판의 관성모멘트

링과 원판의 관성모멘트는 다음과 같다. 

 

 

링은 31%의 개연성이 있는 결과가 나왔다. 

 

 

고리는 69%의 개연성이 있는 결과가 나왔다.

 

 

5.4. 오차원인

본 실험은 양의 오차원인과 음의 오차원인이 분명히 존재한다. 우선 양의 오차원인으로는 추의 진자운동이 있다. 추를 손으로 잡고 낙하시키면서 초기 낙하 시 추와 연결된 실의 방향이 연직방향에 대해 기울어져 있을 수 있다. 이때 T = mg cos⁡θ ＜ mg 가 된다. 따라서 중력의 일부분만 장력으로 작용하여, T = mg로 계산을 했던 5.1.의 운동방정식에서 회전체의 회전관성이 일시적으로 커지게 만드는 겉보기 효과를 만든다. 링의 경우 이러한 오차원인이 작용했을 것으로 여겨진다.

 

Figure. 2. 양의 오차원인 관련

 

음의 오차원인으로는 실과 관련돼 있다. 실이 여러 번 감겨 있던 실험 상황에서 실이 헛도는 것을 충분히 예상해 볼 수 있다. 실이 헛도는 경우 실에는 장력이 적게 작용하여 물체의 가속이 빨라진다. 그 결과 회전관성이 작아지는 겉보기 효과를 만든다. 

 

이 밖에도 실이 감겨진 원주 길이 등에서 측정의 오류가 있었을 것이라고 예상한다.

 

입력: 2019.06.28 23:03