【물리학 실험】 4강. 단진동 실험

4강. 단진동 실험

 

추천글 : 【물리학 실험】 물리학 실험 목차 

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1. 실험의 목적 [본문]

2. 이론적 배경 [본문]

3. 실험장치 및 방법 [본문]

4. 실험결과 [본문]

5. 실험결론 및 논의 [본문]

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a. 단진동과 진동학

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1. 목적 [목차]

진동이란 역학적 운동이 파동의 성질을 띠는 것을 지칭한다. 진동학에서는 진동을 Simple Undamped Oscillation(Simple Harmonic Motion), Damped Oscillation, Forced Oscillation으로 나누어 설명한다. 이 중 Simple Undamped Oscillation은 복원력이 변위에 비례하는 경우로 단순한 모델링이 가능하기 때문에 단진동이라고 부른다. 진동을 연구하면 파동방정식이 도출되고, 파동방정식은 양자역학과 상대성이론을 이해하는데 핵심적이기 때문에 진동을 확실히 이해할 필요가 있다. 본 실험에서는 진동의 현상, 성질, 연구방법론 등을 배우게 된다.

 

2. 이론적 배경 [목차]

2.1. 진자운동의 정확한 해

Governing Equation은 다음과 같다.

 

 

만일 θ ≪ 1인 경우 단진동이 관찰된다.

 

 

정확한 해를 구하기 위해 2번의 치환을 한다. 각 치환의 정의와 그 결과는 다음과 같다.

 

 

위 적분을 계산하기 위해 Jacobi Elliptic Function을 이용해야 한다. Jacobi Elliptic Function은 Elliptic Integral을 F(φ; m)라고 하면 다음과 같이 정의한다. (sn으로 표기)

 

 

이를 이용하면 τ에 대한 정확한 해를 얻을 수 있다. 우선 Elliptic Integral Funciton K(m) 및 F(arcsinz; m)을 다음과 같이 정의한다.

 

 

위 정의로부터 주기가 유도된다.

 

 

따라서

 

 

최종적으로 다음 결과를 얻는다.

 

 

2.2. 파이썬 코드

우선 주어진 데이터에 대해 그래프를 그리는 방법은 다음과 같다. 

 

from matplotlib import pyplot as plt
plt.plot([1,2,3],[4,5,6])
plt.show()

 

이제 y = 3 sin⁡(2π ×5 t)에 대한 Fourier Transformation을 구하는 파이썬 코드를 소개하겠다.  

 

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import fftpack
f = 5
f_s = 100
t = np.linspace(0, 2, 2*f_s)
y = 3 * np.sin(2 * np.pi * f * t)
fig, ay = plt.subplots()
ay.plot(t, y)
Y = fftpack.fft(y)
freqs = fftpack.fftfreq(len(y)) * f_s
fig, ay = plt.subplots()
ay.stem(freqs, np.abs(Y))
ay.set_xlim(-f_s/2, f_s/2)
ay.set_ylim(0, 100)
plt.show()

 

Figure. 1. 예시 파이썬 코드의 실행 결과

 

 

3. 실험장치 및 방법 [목차]

첫째, 각 시료의 길이, 질량을 측정했다.

둘째, 진자와 카메라를 셋팅하고 총 3개의 실험군에 대해 실험했다: 기본, 추(1.0 m), 추(0.7 m). 

셋째, 진자를 일정 각변위만큼 이동시켰다. 그리고 녹화가 시작되면 진자를 잡던 손을 놓았다.

넷째, 녹화한 영상을 Tracker로 분석하여 물체의 운동에 대한 데이터를 얻고 분석했다. 계산 시 WolframAlpha를 이용했다. 

 

4. 실험결과 [목차]

4.1. 물리량 측정

 

Table. 1. 측정값 (오차는 추정치)

 

4.2. 결과 그래프(time-domain) : Microsoft PowerPoint 및 python 이용

 

Figure. 2. 결과 그래프(time-domain

 

4.3. 결과 그래프(frequency-domain) : Microsoft PowerPoint 및 python 이용

 

최대 진폭을 갖는 주파수 : 0.6204379562 Hz

최대 진폭을 갖는 주파수 : 0.5109489051 Hz

최대 진폭을 갖는 주파수 : 0.5839416058 Hz

Figure. 3. 결과 그래프(frequency-domain)

 

4.4. 예상 주기 계산

 

 

따라서 ω₀와 T₀는 다음과 같다.

 

 

 

앞서 소개한 주기 공식에 의해

 

 

 

4.5. 결과표

 

관성모멘트의 단위 kg/㎡는 오타이고 kg∙㎡이 맞음

Table. 2. 결과표

 

 

5. 실험결론 및 논의 [목차]

5.1. 측정값의 경향 

예상된 주기를 100이라고 했을 때, “기본”은 95.5 %, “추(1.0 m)”는 85.3 %, “추(0.7 m)”는 81.8 %의 결과가 나왔다. 어느 정도 근접한 결과가 도출되었으나 모두 분명한 음의 편차가 관찰되었다.

 

5.2. 주기의 경향

음의 편차를 설명하기 위해 최대 각변위의 추이에 대해 살펴볼 필요가 있다. 단, θ = 0에서 토크가 0이 되도록 좌표축을 설정하지는 않았음을 유의하자.

 

Table. 3. 주기의 경향

 

5.3. 오차원인 해석

진자운동을 함에 있어 주기를 감소시키는 요인이 분명히 존재한다. 이는 각 실험에서 θ_min과 θ_max의 절댓값이 매 반주기를 거듭할수록 감소한다는 사실을 통해 확인할 수 있다.

 

공기저항은 진자운동의 주기를 증가시키는 요인으로 존재한다. 하지만 공기저항이 물체의 중력보다 훨씬 크기가 작기 때문에 주기의 감소가 지배적으로 나타날 수 있었다. 

 

주기를 감소시킨 핵심적인 요인은 회전축에서의 마찰력이라고 여겨진다. 진자운동을 거듭할수록 회전변위에 대한 마찰력 토크의 일 또한 증가하기 때문에 계의 에너지 총량이 감소한다. 그 결과 최대 각변위 θ₀가 작아진고, 4.4.의 주기 공식에 의해 주기 또한 작아진다. 굉장히 좁은 각변위 구간에서 측정된 주기와 예상된 주기가 근사적으로 일치한다는 사실을 확인할 수 있을 것이다.

 

일반적으로 회전실험을 할 때는 베어링에 기름칠이 핵심적으로 요구된다고 한다. 그 필요성을 간접적으로 확인할 수 있었던 실험이라 여겨진다. 

 

입력: 2019.06.28 23:37