【물리학 실험】 7강. 등전위선 실험

7강. 등전위선 실험

 

추천글 : 【물리학 실험】 물리학 실험 목차 

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1. 실험의 목적 [본문]

2. 이론적 배경 [본문]

3. 실험장치 및 방법 [본문]

4. 실험결과 [본문]

5. 실험결론 및 논의 [본문]

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a. 맥스웰 제1법칙

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1. 목적 [목차]

19세기 맥스웰은 전기 현상과 자기 현상은 본질적으로 같은 현상이며, 오직 4개의 방정식에 의해 기술될 수 있다고 밝혔다. 맥스웰 방정식 중 두 개는 발산정리를 통해 적분표현이 만들어지고, 나머지 두 개는 발산정리의 변형인 그린정리를 통해 적분표현이 만들어진다. 맥스웰 방정식을 전자기 현상에 적용하기 위해 특정 물리량이 단위 시간당 단위 면적을 수직으로 통과하는 비율인 플럭스의 개념이 도입됐고, 더 나아가 전자기 플럭스가 전 공간에 걸쳐 쓰나미처럼 퍼져 나간다고 해서 전자기장의 개념이 도출되었다. 당시에는 전자기장이 편의상 채용된 개념이었지만, 오늘날에 이르러 전자기장이 전자기력을 매개하는 게이지 보존과 관련돼 있음이 밝혀졌다.

 

 

2. 이론적 배경 [목차]

2.1. 전기장, 전위 등 

전기장은 단위 전하당 전기력이다.

 

 

또한 전위는 단위 전하당 전기력에 의한 위치에너지이다. 전기력은 보존력이므로 전기장과 전위 간 관계식은 다음과 같다.

 

 

전기장의 방향은 양전하가 받는 전기력의 방향을 나타낸다. 전기장의 방향을 나타내는 곡선을 전기력선이라고 한다. 또한 전위가 같은 위치를 연결한 면을 등전위면이라고 하며, 전기력선과 등전위면은 서로 수직한 게 특징이다.

 

2.2. 전기에 대한 가우스 법칙

 

 

좌측식은 미분형이고, 우측식은 적분형이다. 양자 간 전환에는 발산정리가 필요하다.

 

특정 가우스면을 상기해 보자. 가우스면을 통과하는 플럭스의 총합은 가우스면 내에 있는 전하량에만 관계되고, 그 비례상수는 공간의 성질인 유전율(ε)과 관련 있다. 

 

2.3. 가우스 법칙의 응용

가우스 법칙은 대칭성을 이용할 수 있는 상황에서 빛을 발한다. 그 상황은 다음과 같은 세 가지가 대표적이다.

우선 전하가 q(C)인 점전하의 중심에서 거리 r(m)만큼 떨어진 위치에서의 전기장 및 전위는 다음과 같다.

 

 

또한 선전하 밀도가 λ(C/m)인 대전된 무한 직선 도체에 의한 전기장 및 전위는 다음과 같다.

 

 

마지막으로 면전하 밀도가 σ(C/m²)인 대전된 무한 평면 도체에 의한 전기장 및 전위는 다음과 같다.

 

 

 

3. 실험장치 및 방법 [목차]

첫째, 테블릿 디지타이저를 PC와 연결하고 등전위선 실험장치에 전압을 인가한다.

둘째, 전압간격을 0.3 V로 설정한 뒤 다음과 같이 실험군을 구성한다: 점+점, 점+세로막대, 점+가로막대, 세로막대+세로막대.

셋째, 각 실험군에서 전위가 0.3 V, 0 V, -0.3 V등인 지점을 표시한다. 이때 데이터 수집은 사전에 셋팅된 아날로그-디지털 변환기 및 Field Touch 프로그램에 의해 테블릿 펜의 접촉과 동시에 진행된다. 이후 수집된 데이터가 이론적 예측과 일치하는지 확인한다.

 

 

4. 실험결과 [목차]

4.1. 물리량 측정

 

 Figure. 1. 등전위선 실험장치

 

우선 전극의 전압은 각각 +1 V와 -1 V로 측정되었다. 중심 간 거리 및 막대의 길이를 ImageJ로 분석한 결과 다음과 같이 나왔다.

 

중심 간 거리 : 14.5494809 cm

막대의 길이 : 12.4147497 cm

 

4.2. 각 실험군의 등전위선

 

Figure. 2. 점+점의 등전위선

모든 실험에서 양극은 좌측, 음극은 우측이다.

 

Figure. 3. 점+세로막대의 등전위선

우측이 세로막대인 상황이다.

 

Figure. 4. 점+가로막대의 등전위선

우측이 가로막대인 상황이다.

 

Figure. 5. 세로막대+세로막대의 등전위선

 

 

5. 실험결론 및 논의 [목차]

5.1. 점+점 실험 분석

점전하에서 다음 비례관계가 관찰된다.

 

 

따라서 각 데이터 지점들을 분석하여 각 전극과의 거리(m)의 역수의 차(∝ 전위)가 전위에 비례하는지 확인할 필요가 있다. 각 전위에 대하여 총 20개의 데이터를 취하였다.

 

 

Table. 1. 각 전극과의 거리의 역수의 차

 

±0.6 V에서의 측정값이 ±0.3 V에서의 측정값의 대략 세 배가 나오는 것을 알 수 있다. 이는 예상한 결과와 다르며 점+점 실험을 점전하 상황으로 간주하는 것이 부적절함을 암시한다. 전기장은 흑연이 칠해진 전기전도성 종이를 통해서만 퍼지므로 (∵ ε_other ≪ ε_conductor) 무한 직선 도체로 간주할 필요가 있다.

 

양극과의 거리 r¹, 음극과의 거리 r²에 대해, 무한 직선 도체에서 다음 식이 성립한다.

 

 

우선 r₀와 V(r₀)를 결정해야 한다 : r₀는 원점과 가장 가까운 지점과 각 전극과의 거리로 정했으며, V(r₀)는 그 지점의 전위(실험상 0 V)로 정했다.

 

 

다음은 ln Q 값의 추이를 분석한 것이다.

 

Table. 2. 무한 직선 도체로 간주한 점+점

 

그러자 여러모로 합리적인 결과가 도출됐다. 첫째, 평균값이 전위에 비례한다는 것을 알 수 있다. 둘째, Table. 1.과 비교하여 표준편차가 크지 않다. 마지막으로 0.6 V와 -0.6 V, 0.3 V와 -0.3 V를 비교하면 오차범위에서 일치한다.

 

Figure. 6. ln Q 값의 추이

 

ln Q값의 곡선의 추세선의 R²값은 0.9996으로 추세선이 데이터를 잘 반영하고 있음을 알 수 있다. 또한 추세선의 기울기를 통해 k값을 도출할 수 있다.

 

 

5.2. 점+세로막대 실험 분석

5.1.의 논리를 확장하면 세로막대는 무한 평면 도체로 간주하는 것이 타당하다. 실제로 Figure. 3.을 보면 세로막대 근처에서 무한 평면 도체처럼 막대와 평행한 등전위선이 생긴다. 무한 직선 도선처럼 간주할 수 있는 1번 전극과 무한 평면 도체처럼 간주할 수 있는 2번 전극에 대해 다음과 같은 식이 관찰된다.

 

 

우선 r₀와 V(r₀)를 결정해야 한다 : r₀는 원점과 가장 가까운 지점과 각 전극과의 거리로 정했으며, V(r₀)는 그 지점의 전위(실험상 0 V)로 정했다.

 

 

5.1.에서 k를 구했으므로 각 데이터에서 양극에 의한 전위를 차감하여 세로막대에 의한 전위만을 도출한다. 그 뒤 k’ 값을 계산한다. 데이터 해석 시 가장자리 효과를 확인하기 위해 가장자리와 중앙을 구분하여 데이터를 수집한 뒤 결과를 비교해 보았다. 단, 가장자리란 데이터를 3등분하였을 때 가운데를 제외한 양쪽 말단부분을 말한다.

 

Table. 3. k’ 계산과정

 

우선 k’의 진정한 의미를 이해해야 한다.

 

 

평균 전기장의 크기와 같은 의미를 갖는 k’은 Table. 3.에서 알 수 있듯 두 가지 경향성이 나타난다. 첫째, 거리가 멀어질수록 k’의 값은 작아진다. 둘째, 중앙에서 측정된 k’이 가장자리에서 측정된 k’보다 크다. 

 

두 경향성 모두 2번 전극의 크기가 유한하기 때문에 나타난다. 즉, 거리가 멀어질수록 가우스면의 크기가 커짐에 따라 전기장 다발이 퍼져 버리기 때문에 첫번째 경향성이 나타난다. 또한 가장자리일수록 전기장의 x축 성분의 크기가 작아져 중앙에 비해 k’의 값이 작게 나타난다.

 

위치에 따른 k’을 수식으로 나타내는 것은 굉장히 까다롭다. 따라서 Table. 3.을 참고하여 수치해석적으로 점+가로막대 실험과 세로막대+세로막대 실험을 해석해야 한다.

 

5.3. 점+가로막대 실험 분석

다음은 전위가 0.6 V, 0.3 V, -0.3 V인 지점(중앙에 한함)의 데이터들이 5.1.과 5.2.에서 구한 k와 k’을 적용하여 얻은 전위와 일관성이 있는지 확인한 표이다.

 

 Table. 4. 점+가로막대 실험 분석

 

실험 5.3.의 구성이 실험 5.2.와 완전히 다르다는 점을 이해해야 한다. 따라서 예상 전위가 실제 전위와 다를 수밖에 없다. 그럼에도 불구하고 비교적 유사한 결과가 나왔다.

 

5.4. 세로막대+세로막대 실험 분석

다음은 전위가 0.3 V, -0.3 V인 지점(중앙에 한함)의 데이터들이 5.1.과 5.2.에서 구한 k와 k’을 적용하여 얻은 전위와 일관성이 있는지 확인하기 위한 과정이다. 단, Table. 3.의 값을 적용함에 있어 특정 지점과 각 전극과의 거리를 따져서 적절한 값(k₁’, k₂’)을 선택한 것임을 분명히 밝힌다. 즉 전위가 0.3 V인 데이터들을 해석할 때, 음극은 고민없이 k₂’ = 3.416813을 사용한 반면 양극은 점+세로막대에서 -0.3 V인 상황을 유추하여 k₁’ = 4.458858을 사용하였다.

 

 

위 식을 적용하기 위해 r₀와 V(r₀)를 결정해야 한다 : r₀는 원점과 가장 가까운 지점과 각 전극과의 거리로 정했으며, V(r₀)는 그 지점의 전위(실험상 0 V)로 정했다.

 

Table. 5. 세로막대+세로막대 실험 분석

 

Table. 4.에 비해 표준편차가 상당히 작은 것으로 보아 데이터의 정밀성은 높다. 하지만 전위의 실제값과 이론값은 분명히 다른데, 이는 실험조건이 같지 않음에도 불구하고 유사성을 근거로 Table. 3.을 적용했기 때문이다. 따라서 유한 평면 도체가 생성하는 전위에 대한 정확한 모델링이 선행되어야 점+세로막대, 점+가로막대, 세로막대+세로막대 실험을 완전히 해석할 수 있을 것이다.

 

입력: 2019.06.29 11:21