【해석학】 21강. 미분방정식의 해의 존재성

21강. 미분방정식의 해의 존재성

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. Banach 고정점 정리 [본문]

2. 적분방정식과 고정점의 연관성 [본문]

3. 미분방정식 일반 [본문]

4. 벡터함수에 관한 미분방정식으로의 확장 [본문]

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1. Banach 고정점 정리 [목차]

⑴ g : [a, b] → [a, b]가 연속함수이고 0 ＜ K ＜ 1이 있어 각 x ∈ (a, b)에 대해 g'(x)가 존재하여 |g'(x)| ≤ K라 하자. 이때 x = g(x)인 유일한 x ∈ [a, b]기 존재한다. 실제로 임의의 x₀ ∈ [a, b]에 대해 x_n+1 = g(x_n), n ≥ 0이라 정의하면 수열 (x_n)은 고정점 x로 수렴한다. 또한 

 

 

가 성립한다.

⑵ 예제 : √2가 함수 

 

 

의 고정점임을 이용하여 |r - x| ≤ 0.01인 유리수 r을 찾으시오.

 

 

2. 적분방정식과 고정점의 연관성 [목차]

⑴ 예제 : 연속함수 f : (a, b) × ℝ → ℝ, (x₀, y₀) ∈ (a, b) × ℝ 그리고 함수 y : (a, b) → ℝ에 대해 다음이 동치임을 보이시오.

① y(x₀) = y₀이고 각 x ∈ (a, b)에 대해 y'(x)가 존재하여 y'(x) = f(x, y(x))이다.

② y는 연속이고 각 x ∈ (a, b)에 대해 다음이 성립한다.

 

 

⑵ 예제 : f : ℝ × ℝ → ℝ이 f(x, y) = 2y이고 x₀ = 0, y₀ = 1일 때 y(0) = 1이고 y'(x) = f(x, y(x))를 만족하는 함수 y : ℝ → ℝ가 다음 함수열의 극한으로 얻어짐을 보이시오.

 

 

⑶ 예제 : B = {y : (a, b) → ℝ | y는 유계이다}이고 y ∈ B에 대해 

 

 

라 하자. 다음을 보이시오.

① y, z ∈ B, c ∈ ℝ이면 y + z, cy ∈ B이다.

② y, z ∈ B, c ∈ ℝ일 때 다음과 같다.

○ 수식 1.

 

 

○ 수식 2.

 

 

○ 수식 3.  

 

 

③ y, y₁, y₂, ··· ∈ B이고 

 

 

이며 각 y₁, y₂, ···가 연속이면 y도 연속이다.

⑷ 예제 : B가 위와 같다고 하자. B의 부분집합 S를 S = {y ∈ B | y는 연속이고 α ≤ y ≤ β}라 하자. 함수 G : S → S와 상수 0 ＜ K ＜ 1가 있어 모든 y, z ∈ S에 대해 

 

 

가 성립한다면 G(y) = y인 유일한 y ∈ S가 존재함을 보이시오.

⑸ 예제 : (x₀, y₀)을 원소로 하는 직사각형 (a, b) × (c, d) 위에서 정의된 연속함수 f(x, y)가 연속인 편미분 

 

 

를 갖는다고 하자. 이때 다음을 만족하는 h ＞ 0가 존재한다.

① (x₀ - h, x₀ + h) ⊆ (a, b)이다.

② y(x₀) = y₀이고 각 |x - x₀| ＜ h에 대해 (x, y(x)) ∈ (a, b) × (c, d)이며 y'(x)이 존재하여 y'(x) = f(x, y(x))를 만족하는 함수 y : (x₀ - h, x₀ + h) → ℝ이 유일하게 존재한다.

⑹ 예제 : 미분방정식 y'(x) = [y(x)]² - x, y(1) = 0이 유일한 해를 갖는 구간 (1 - h, 1 + h)를 하나 구하시오.

 

 

3. 미분방정식 일반 [목차]

⑴ 개요

① 상미분방정식(ODE, ordinary differential equation)

② 선형 상미분방정식(linear ODE)

 

 

③ autonomous ODE

⑵ Picard's theorem : f(x,y)가 연속이고 ∂f / ∂x가 존재하고 (x₀, y₀) 근처에서 연속이면 y' = f(x, y), y(x₀) = y₀인 해는 적어도 좁은 구간에서 존재하고 유일하게 결정됨

⑶ 선형 상수계수 상미분방정식에서 m개의 중근이 존재하면 e^λx 뿐만 아니라 xe^λx, ⋯, x^m-1e^λx도 고려해야 함

⑷ 연립 선형 상미분방정식 : 2 × 2 행렬 A로 표현되는 연립 선형 상미분방정식에 대하여, 

 

 

① 경우 1. A가 고유치 λ₁, λ₂를 갖고 대각화가 가능한 경우 : λ₁, λ₂와 각각 대응되는 고유벡터 v₁, v₂에 대해, 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

② 경우 2. A가 복소수 고유치 p ± qi를 갖는 경우 : 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

③ 경우 3. A가 다중도가 2인 고유치 λ 1개를 갖고 있고, 대각화가 안 된다면 일반해 x는 일반화된 고유벡터와 함께 다음과 같음

 

 

 

4. 벡터함수에 관한 미분방정식으로의 확장 [목차]

⑴ 예제 : 벡터함수 x : [a, b] → ℝⁿ, x(t) = (x₁(t), ···, x_n(t))에 대해 미분과 적분을 

 

 

로 정의하자. 이때 미적분학의 기본정리들을 기술하고 증명하시오. 또한 

 

 

를 확인하시오. 여기서 |(a₁, ···, a_n)| = max｛|a₁|, ···, |a_n|｝이다.

⑵ 예제 : R = (c₁, d₁) × ··· × (c_n, d_n) ⊆ ℝⁿ이고 (t₀, x₀) ∈ (a, b) × R라 하자. 연속함수 f: (a, b) × R → ℝⁿ가 연속인 편미분 

 

 

를 갖는다고 하자. 이때 다음 방정식 x(t₀) = x₀, x'(t) = f(t, x(t))이 유일한 해를 갖는 구간 (t₀ - h, t₀ + h)가 존재함을 보이시오.

 

입력 : 2020.01.18 00:45