【현대수학】 군 이론 (Group Theory)

군 이론(Group Theory)

 

추천글 : 【수학】 수학 목차

---

1. 군 이론 [본문]

2. 함수 [본문]

---

a. 유한 순환군(아벨군)은 궁극적으로 cos이나 sin으로 표현된다

---

 

1. 군 이론 [목차]

⑴ 공리(axiom)

① 폐포(closure) : ∀a, b ∈ G, a·b ∈ G

② 결합법칙(associative property) : ∀a, b, c ∈ G, (a·b)·c = a·(b·c)

③ 항등원(identity element) : 임의의 a ∈ G에 대하여, a·e = e·a = a를 만족하는 e ∈ G가 존재함

④ 역원(inverse element) : 임의의 a ∈ G에 대해 a·a^-1 = a^-1·a = e인 a^-1이 존재함

○ 역원의 유일성 : 임의의 두 역원 a₀^-1, a₁^-1을 잡을 때 언제나 a₀^-1 = a₁^-1이 성립함

○ a₀^-1 = e·a₀^-1 = (a₁^-1·a)·a₀^-1 = a₁^-1·(a·a₀^-1) = a₁^-1·e = a₁^-1 

⑵ 용어

① 준동형사상(homomorphism) : 두 군 (G, ·), (H, *)이 주어져 있을 때, ρ(u · v) = ρ(u) * ρ(v)를 만족하는 사상 ρ : G → H 

② 동형사상(isomorphism) : 일대일 대응(bijective)을 만족하는 homomorphism

③ 곱셈 군(product group) : 두 군 G, H의 군에서의 카테시안 곱 G × H로 정의됨 (e.g., (g₁, h₁))

○ 새로운 군 연산은 (g₁, h₁)·(g₂, h₂) = (g₁g₂, h₁h₂)

④ 교환법칙(commutativity) : 그룹 (G, +)이 연산의 순서가 중요하지 않을 때, 즉 a·b = b·a일 때, 교환 가능(commutative) 또는 아벨 그룹(Abelian)이라고 함

○ 군의 모든 원소에 대해 이 성질이 성립하지 않을 경우, 그 군은 비교환 군(non-commutative)이라고 함

○ 유한한 교환군은 각각 순환군(cyclic group)의 곱으로 표현될 수 있음 

⑤ 군의 작용(group action) : 군의 작용은 T : G × X → X로 정의되는 함수로, (g, x) 쌍을 X의 원소로 사상 

○ 조건 1. G의 항등원 e에 대하여 T(e, x) = x

○ 조건 2. g₁, g₂ ∈ G에 대하여 T(g₁, T(g₂, x)) = T(g₁g₂, x) 

○ 간단히 표현하기 위해 T(g, x)를 T_g(x)로 나타내며, 이는 점 x가 gx (= T_g(x))로 사상된다고 표현함 

⑥ 불변성(invariance) : 함수 ϕ : X → Y가 G-불변성을 가지려면, 모든 g ∈ G와 x ∈ X에 대해 ϕ(x) = ϕ(gx)를 만족해야 함

○ 이는 입력 공간에 대한 군의 작용이 출력에 아무런 영향을 미치지 않는다는 것을 의미 

⑦ 등변성(equivariance) : 함수 ϕ : X → Y가 G-등변성을 가지려면, 모든 g ∈ G와 x ∈ X에 대해 ϕ(gx) = g'ϕ(x)를 만족해야 함 

○ 이때 g' ∈ G'은 G와 homomorphic이면서 출력 공간에 작용하는 군 

○ 등변성은 입력 공간에서의 군 작용이 출력 공간에서 대응되는 군 작용을 초래한다는 것을 의미함 

⑧ 궤도(orbit) : 점 x ∈ X에 대해, x의 궤도 Gx는 집합 {gx : g ∈ G}로 정의됨 

○ 예를 들어, G가 translation 군이고 x가 이미지라면, 궤도는 해당 이미지의 모든 이동된 버전을 의미함

⑨ 균질 공간(homogeneous space) : 임의의 페어 x₁, x₂ ∈ X에 대하여 gx₁ = x₂인 g ∈ G가 언제나 존재하는 공간 X

○ 군 G의 작용을 갖춘 균질 공간 X를 G-공간(G-space)이라고도 함 

⑩ 표현(representation) : 군 G의 표현은 벡터 공간 V 위로의 선형변환군 GL(V)에 대해 사상 ρ : G → GL(V)을 의미함

○ homomorphism 조건 : 표현은 추가로 ρ(g₁g₂) = ρ(g₁)ρ(g₂)를 만족해야 함

○ 많은 경우 V는 ℝⁿ 또는 ℂⁿ

○ 가약(reducible) : 표현을 다른 표현들의 direct sum으로 분해할 수 있는 경우

○ 불가약(irreducible) : 가약 표현이 아닌 모든 표현. 불가약 표현들의 집합을 Irr(G), irreps 등으로 표현

○ 유한 교환 그룹(finite commutative group)의 불가약 표현들은 모두 1차원이며 그룹 자체와 일대일 대응(bijection)을 이룸

○ 유한 교환 그룹의 불가약 표현들은 순환 그룹 ℤ/nℤ의 곱으로 분류됨

⑶ 정리 1. 군 〈G, *〉의 각 공리들은 〈G, *〉의 structural property임

① 정의 : 〈G, *〉의 structural property란, 〈G, *〉와 isomorphic한 모든 binary structure가 공유하는 특성을 의미함

② 전제 : isomorphism φ : G → S를 통해 〈S, ㆍ〉는 〈G, *〉와 isomorphic한 binary structure임

③ 공리 1에 대한 증명 : α, β, γ ∈ S, ∃ a, b, c ∈ G s.t. φ(a) = α, φ(b) = β, φ(c) = γ

 

④ 공리 2에 대한 증명

 

 

⑤ 공리 3에 대한 증명 : a ∈ G의 역원 a'에 대하여,

 

 

 

2. 함수 [목차]

⑴ 단사함수(injective, one-to-one) : 함수 f: X → Y에서 치역의 원소마다 정의역의 오직 하나의 원소만이 관계를 가질 때 그 함수

⑵ 전사함수(surjective, onto) : 공역 = 치역인 함수

⑶ 전단사함수(bijective) : 단사함수이면서 전사함수인 함수

 

입력: 2021.03.27 22:54

수정: 2024.12.21 15:42