【대수경】 제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 42회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 42회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2024년 11월 2일 (10:30 - 13:00)

 

1. 다음 행렬 A에 대하여 등식 A⁵ = aA² + bA + cI가 성립하도록 하는 실수 a, b, c를 구하여라. (단, I는 3 × 3 단위행렬)

 

 

 

Solution. 

다음 식을 발견할 수 있다.

 

 

∴ A⁵ = A² × (-3A) = (-3)² A이므로 a = 0, b = 9, c = 0

 

 

2. 3차원 좌표공간에서 식 4z² = x² + y² - 1로 주어진 곡면을 S라 하자. 곡면 S가 점 P(1, 2, 1)을 지나는 직선을 정확히 두 개 포함하고 있음을 보이고, 두 직선이 이루는 예각을 θ라 할 때 cos θ의 값을 구하여라. 

 

 

Solution. 

S : 4z² = x² + y² - 1을 시각화한 결과는 다음과 같다.

 

 

점 P(1, 2, 1)을 지나는 직선을 (at + 1, bt + 2, ct + 1), t ∈ ℝ로 둘 수 있으므로,

4(ct + 1)² = (at + 1)² + (bt + 2)² - 1 ⇔ 4c² = a² + b² (식 1), 8c = 2a + 4b (식 2)

(a, b, c)를 정규화하기 위해 a² + b² + c² = 1 (식 3)으로 두고, 방향 벡터가 양쪽이 모두 가능하므로 c ≥ 0 (식 4)으로 제한하자.

 

(식 1)과 (식 2)로부터 c² = 1/5를 얻을 수 있고, (식 4)로부터 c = √(1/5)를 얻을 수 있다. 

a² + b² = 4/5로부터 a = √(4/5) cosφ, b = √(4/5) sinφ로 둘 수 있다. 

2a + 4b = 2√(4/5) cosφ + 4√(4/5) sinφ = √((2√(4/5))² + (4√(4/5))²) sin(φ+α) = 4sin(φ+α) = 8c = 8/√5를 얻을 수 있다.

4 > 8/√5이므로 (a, b, c) = (√(4/5) cosφ, √(4/5) sinφ, √(1/5))가 정확히 2개 존재한다.

 

이제 해의 개수를 정확하게 파악하기 위해 별도로 도입한 (식 3), (식 4)를 무시하고 (식 1), (식 2)에만 집중하자.

그러면 (a, b, c) = (0, 2, 1), (8, 6, 5)를 쉽게 찾을 수 있다. (각주 : 쉽게 찾을 수 없다면 위에서 구한 φ 및 α로 해를 결정할 수 있다.)

따라서 cosθ는 다음과 같다.

 

 

 

3. 다음 식을 만족하는 실수 N을 구하여라. 

 

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 37²⁰²⁴의 십의 자리 숫자, 일의 자리 숫자를 각각 구하여라.

 

 

Solution. 

100의 오일러 피 함수(Euler phi function)는 다음과 같다.

 

 

따라서, 37과 100은 서로 소이므로 오일러 정리에 의해 다음이 성립한다.

 

37^φ(100) ≡ 37⁴⁰ ≡ 1 (mod 100)

 

그러므로 다음이 성립한다.

 

37²⁰²⁴ ≡ 37²⁴ = (30 + 7)²⁴

37²⁰²⁴ ≡ 24 × 30 × 7²³ + 7²⁴ 

37²⁰²⁴ ≡ 20 × (7⁴)⁵ × 7³ + (7⁴)⁶

37²⁰²⁴ ≡ 20 × 343 + 1

37²⁰²⁴ ≡ 61 (mod 100)

 

 

5. 실수 전체에서 정의된 실함수 f(x)는 두 번 미분가능하고 f''(x)가 연속이다. 그리고 모든 x에 대하여 f'(x) > 0이고 f''(x) < 0이다. 이때 임의의 양수 t에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

 

 

Solution. 

공식 풀이를 참고하였다. 

 

 

 

6. 아래 두 조건을 만족하는 n개의 실수 a₁, a₂, ···, a_n에 대하여 다음의 최댓값을 구하여라. (단, n ≥ 3)

 

 

Solution. 

맨 처음에는 이차형식 행렬 A에 대하여 다음 풀이를 시도했으나, a₁ + a₂ + ··· + a_n = 0 조건 때문에 더 진행하기는 어려웠다.

 

 

하지만, 정식 풀이를 보면 선형대수학과 관련 있음은 분명하다.

 

목적함수 및 제약함수가 모든 (a₁, ···, a_n)에서 미분 가능하므로 목적함수의 최댓값은 극대값에서 결정된다. 

여러 개의 등식 제약 하 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)을 이용하여 극대값을 찾아보자.

 

 

이제 군이론(group theory)에서 아이디어를 채용하여 ∑ 연산 하에서 순환적 특성을 갖는 f(a, b) = ∑_i a_i+aa_i+b의 특징을 파악하자.  

○ f(0, 0) = 1

○ f(a, b) = f(b, a) : 교환 법칙

○ f(a+c, b+c) = f(a, b) 

○ f(a+c, b) = f(a-c, b)

○ f(a, b+c) = f(a, b-c)

○ ∑_c f(a+c, b) = 0 (∵ (a₁ + a₂ + ··· + a_n)² = 0)

○ ∑_c f(a, b+c) = 0 (∵ (a₁ + a₂ + ··· + a_n)² = 0)

 

n × n 행렬의 (a, b)에 f(a, b) 값을 표시하면 우향하는 대각선 방향으로 1이고, 그 대각선을 기준으로 + 모양으로 값이 대칭적으로 나타난다.

 

 

더욱이 임의의 행 혹은 열을 골라 그 함숫값들을 모두 더하면 0이 되므로 f는 cyclic 하다고 추정할 수 있다. 

따라서 cyclic 함수 g에 대하여 f(a, a ± c) = g(2πc/n), g(0) = 1로 둘 수 있다.

표현 이론(representation theory)에 따르면, 유한 순환군(아벨군)의 실 1차원 표현은 궁극적으로 cos나 sin 형태로 표현될 수밖에 없다.

즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱으로 나타내어지고, 복소함수까지 고려하면 exp(iθ)가 그 원소가 된다.

따라서 g(0) = 1을 고려하면, f(a, a ± c) = cos(2πc/n)이다.

 

표현 이론을 사용하지 않더라도 비슷한 결론을 낼 수 있다.

임의의 함수 f가 주어져 있어도 f(a, a ± c) = cos(2πc/n)과 유사한 값으로 근사할 수 있다.

그런데 f(a, a) = 1, f(a, a+1) ≃ cos(2π/n) ···, f(a, a+(n-1)) ≃ cos(2(n-1)π/n)을 만족하기 위해 (a₁, ···, a_n)을 결정해야 한다.

식이 n개이고 변수가 n개이므로 해는 유일하게 결정되고, 앞에서 찾은 f(a, a ± c) = cos(2πc / n)가 바로 그 해이다.

 

따라서 (준식) ≤ f(a, a+1) = cos(2π/n)이고, 등호조건은 다음과 같다.

 

 

참고로, a₁ = 1/√2, a₂ = -1/√2, a₃ = ··· = a_n = 0인 경우,  주어진 조건을 만족하지만 라그랑주 승수법 조건을 만족하지 못해 최댓값이 아니다.

 

 

7. 2차원 좌표평면 위의 유한한 닫힌 블록 영역 D에 대하여 D의 경계 β가 다음을 만족한다고 하자.

 

⑴ β는 매끄러운 단순폐곡선이다.

⑵ β 위의 임의의 점 O에 대하여 O를 중심으로 하는 반지름이 1인 원은 β와 두 점에서만 만난다.

⑶ β 위의 임의의 점 O에서 그린 접선은 O를 제외한 다른 점에서 β와 만나지 않는다. 

 

길이가 1인 막대 PQ의 중점을 M이라 하자. 막대의 양 끝점 P, Q가 항상 β 위에 놓이도록 막대를 한 바퀴 돌리면(즉, 곡선 β를 따라 두 점 P, Q를 연속적으로 한 바퀴 돌리면) M의 자취가 단순폐곡선 γ가 된다고 하자. 이때 두 곡선 β와 γ 사이에 있는 영역의 넓이가 π/4임을 보여라. 

 

 

Solution.

 

출처: 이미지 클릭

 

위와 같은 삼각형이 주어져 있을 때, 파푸스의 중선정리에 따르면 a² + b² = 2(c² + d²)이 성립한다.

그러므로 다음이 성립한다.

 

 

입력: 2024.12.06 19:02