【대수경】 제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 38회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 38회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2019년 11월 9일 (10:00 - 13:00)

 

1. 다음 행렬 A에 대하여 rank(A)를 구하여라. 

 

 

Solution. 

det(A) = 0이므로 rank(A) < 3이다.

 

 

한편,

 

 

이므로 (2019, 2020, 2021)^T와 (2020, 2021, 2022)^T는 일차독립이다.

그러므로, rank(A) ≥ 2이다.

따라서 rank(A) = 2이다.

 

 

2. 행렬 A와 B가 다음과 같이 주어져 있다.

 

 

이 때, 입체 V = {x ∈ ℝ³ : x · Ax ≤ 1 < x · Bx }의 부피를 구하여라.

 

 

Solution. 

이차형식을 풀어쓰면, x · Ax = 2x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂ + 3x₃², x · Bx = 4x₁² + 4x₂² + 4x₁x₂ + 12x₃²을 얻는다. 

(x, y)을 (x₁, x₂)을 -45° 회전시킨 점이라고 할 때, x₁ = (x - y) / √2, x₂ = (x + y) / √2를 얻을 수 있다.

이때 x₃ = z라고 하면, x · Ax = 3x² + y² + 3z², x · Bx = 6x² + 2y² + 12z²을 얻는다. 

회전변환은 입체의 부피를 보존하므로 V' = {(x, y, z) : 3x² + y² + 3z² ≤ 1 < 6x² + 2y² + 12z²}을 고려하는 것으로 충분하다.

두 타원체는 서로 교점이 없으므로 주어진 영역의 부피를 구하는 것은 두 타원체의 사이 공간의 부피를 구하면 된다.

 

 

따라서 |V| = |V'| = (4π/3) × ((1/√3) × 1 × (1/√3) - (1/√6) × (1/√2) × (1/√12)) = π/3

 

 

3. 영역 W = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² ≤ 1, |z| ≤ 1}에서 두 벡터장 F와 G가 다음과 같이 주어져 있다. 

 

F(x, y, z) = (sin xy, sin yz, 0), G(x, y, z) = (exp(x² + y² + z²), cos xz, 0)

 

다음 적분값을 구하여라. (단, curl(F) = ∇ × F이다.)

 

 

 

Solution. 

 

 

∫∫∫ -y cos yz exp(x² + y² + z²) dV = 0이다. 왜냐하면, (x, y, z)와 (x, -y, z)가 절댓값은 같고 부호가 달라 서로 상쇄되기 때문이다.

∫∫∫ -x sin xy sin xz dV = 0이다. 왜냐하면, (x, y, z)와 (-x, y, z)가 절댓값은 같고 부호가 달라 서로 상쇄되기 때문이다.

∫∫∫ -2z sin yz exp(x² + y² + z²) dV = 0이다. 왜냐하면, (x, y, z)와 (x, -y, z)가 절댓값은  같고 부호가 달라 서로 상쇄되기 때문이다.

그러므로 주어진 적분값은 0이다.

 

 

4. 크기가 n × n인 유니타리(unitary) 행렬 A와 B에 대하여, | det(A + 2B) | ≤ 3ⁿ임을 보여라. 

 

 

Solution.

⑴ 유니타리 행렬의 정의 : 복소수 행렬 중에서 다음과 같은 조건을 만족하는 행렬 

 

A · A* = A* · A = I 

 

① A* : A의 에르미트 전치(Hermitian transpose). 즉, 행렬 A의 복소켤레를 취하고 전치(transpose)한 행렬

② I : n × n 단위행렬(identity matrix)

③ 유니타리 행렬은 실수 행렬에서 직교 행렬의 복소수 버전 

⑵ 유니타리 행렬의 특성

① 모든 고유값의 절댓값이 1

② 열벡터가 정규직교(orthonormal) 

③ 행벡터가 정규직교(orthonormal)

⑶ 문제 풀이 

|| A + 2B ||₂ ≤ || A ||₂ + || 2B ||₂ = || A ||₂ + 2 || B ||₂ = 1 + 2 = 3 (∵ || A ||₂ = 1, || B ||₂ = 1)

∴ | det(A + 2B) | ≤ ( || A + 2B ||₂ )ⁿ = 3ⁿ 

 

 

5. 수열 {a_n}_n≥1은 다음과 같이 정의된다. (단, log는 자연로그이다.)

 

a₁ = 1, a_n+1 = log ((e^a_n - 1) / a_n)

 

수열 {b_n}_n≥1은 b_n = ∏_{i = 1 to n} a_i으로 정의할 때, 급수 ∑_{n=1 to ∞} b_n의 값을 구하여라.

 

 

Solution. 

0 < x < 1에서 1 ≤ xe^x - e^x + 1이 성립한다.

따라서, 0 < x < 1에서 [log ((e^x - 1) / x)]' = [xe^x - e^x + 1] / x(e^x - 1) > 0이므로 log ((e^x - 1) / x) < log (e-1) < 1이므로 a_n은 감소수열이다.

(e^x - 1) / x = x₀ / 1! + x/2! + x² / 3! + ···이므로, x ≪ 1인 경우 log ((e^x - 1) / x) ≒ x / 2가 성립한다.

그러므로, n이 충분히 크면, a_n+1 ≒ a_n / 2 < 1 /2와 같아서, b_n+1 / b_n = a_n+1 < 1/2이다.

따라서, 주어진 급수의 수렴성 및 lim_{n → ∞} a_n = lim_{n → ∞} b_n = 0은 자명하다.

 

주어진 점화식 조건에 의해 a_ne^a_n+1 = e^a_n - 1이 성립하므로, 최종적으로 다음이 성립한다.

e - 1 = e^a₁ - 1 = a₁e^a₂ = a₁(1 + a₂e³) = a₁(1 + a₂(1 + a₃(1 + ···)) = a₁ + a₁a₂ + a₁a₂a₃ + ··· = ∑_{n=1 to ∞} b_n 

 

 

6. 적분 가능한 함수 f : [0, ∞) → [0, ∞)가 다음을 만족한다.

 

 

다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 실수 a와 정수 n (n ≥ 2)에 대하여 S_n(a)를 다음과 같이 정의하자.

 

 

수열 {S_n(a)}_n≥2가 양의 실수로 수렴하는 a의 값을 모두 구하여라.

 

 

Solution.

a = 2019인 경우 다음과 같다.

 

 

그러므로 완비성 공리에 의해 S_n(a)는 n → ∞에 대하여 수렴값이 존재하고, 그 값은 양의 실수이다.

한편, a > 2019이면 S_n(a)는 무한대로 발산하고, a < 2019이면 S_n(a)는 0으로 수렴한다. 

 

 

따라서 주어진 수열이 양의 실수로 수렴하는 a는 2019밖에 없다.

 

 

8. 크기가 n × n인 복소행렬들로 이루어진 복소벡터공간을 M_n(ℂ)라고 하자. 선형사상 T : M_n(ℂ) → M_n(ℂ)는 임의의 A ∈ M_n(ℂ)에 대하여 det(A) = det(T(A))를 만족한다. 

⑴ 행렬 T(A)가 영행렬이면, A가 영행렬임을 보여라. 

⑵ 임의의 A ∈ M_n(ℂ)에 대하여 rank(A) = rank(T(A))임을 보여라. 

 

 

Solution.

⑵를 증명하면 ⑴은 자동으로 증명된다. (∵ 영행렬은 rank가 0인 유일한 행렬)

⑵에 대한 증명은 공식 풀이를 참고하였다.

우선, rank(A) = s, rank (ϕ(A)) = t라 두면, 다음을 만족하는 가역인 행렬 U_i, V_j를 잡을 수 있다.

 

 

또한 B = U₁^-1V₁^-1이라 두자.

그러면 임의의 복소수 x ∈ ℂ에 대하여 다음을 만족한다.

 

 

위 식은 모든 복소수 x에 대해 성립하므로, |x| → ∞으로 보내는 경우에도 동일하다.

따라서, x에 대한 차수가 동일해야 한다는 점에서 s = t 를 쉽게 보일 수 있다.

 

입력: 2024.12.27 13:36