【대수경】 제 39회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 39회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 39회 전국 대학생 수학경시대회

제 2 분야

 

2020년 11월 14일 (10:00 - 11:30)

 

1. 다음 극한값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

e^x = 1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + ···

sin(x) = x - x³ / 3! + x⁵ / 5! - ···

sin(x²) = x² - x⁶ / 3! + x¹⁰ / 5! - ···

∴ e^x·sin(x²) = x² + x³ + x⁴ / 2! + x⁵ / 3! + ···

∴ e^x·sin(x²) - x² = x³ + x⁴ / 2! + x⁵ / 3! + ···

∴ (준식) = 1

 

 

2. 양의 정수 n ≥ 2에 대하여, n × n 대칭행렬 M = (m_ij)을 다음과 같이 정의하자. 

 

 

이때, 다음 식의 값을 n에 대한 다항식으로 표현하여라. 

 

 

 

Solution. 

 

 

n × n 행렬 M이 위와 같을 때 여인수 전개(cofactor expansion)에 의해 det(M) = a_n을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

n = 2일 때 det(M) = -1/2이므로, (준식)은 최종적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

 

 

3. 이변수함수 f(x,  y)는 다음과 같이 정의된다. 

 

f(x, y) = 3 + 2 cosx + 2 cosy + 2 cos(x - y)

 

⑴ 모든 실수 x, y에 대하여, f(x, y) ≥ 0임을 보여라.

⑵ 영역 {(x, y) ∈ ℝ² : -π ≤ x, y ≤ π}에서 f(x, y) = 0이 되는 (x, y)를 모두 구하여라. 

 

 

Solution. 

⑴

f는 모든 점에서 미분 가능하므로 f의 최솟값은 f의 극값에서 결정된다. 

∇f = (-2 sinx - 2 sin(x - y), -2 sin y - 2 sin(y - x))이다. 

한편, sin x + sin (x - y) = 2 sin(x - y/2) cos(y / 2) = 0이 성립하므로 x - y / 2 = mπ, m ∈ ℤ 혹은 y / 2 = (n + 1 / 2)π, n ∈ ℤ이다.

또한, sin y + sin (y - x) = 2 sin(y - x/2) cos(x / 2) = 0이 성립하므로 y - x / 2 = m'π, m' ∈ ℤ 혹은 x / 2 = (n' + 1 / 2)π, n' ∈ ℤ이다.

 

경우 1. x - y / 2 = mπ, m ∈ ℤ 그리고 y - x / 2 = m'π, m' ∈ ℤ

(x + y) / 2 = (m + m')π이므로 x = 2(2m + m')π / 3, y = 2(m + 2m')π / 3이다.

f의 최솟값 후보는

① f(0, 0) = 9,

② f(0, 2π/3) = 3,

③ f(0, 4π/3) = 3,

④ f(2π/3, 0) = 3,

⑤ f(2π/3, 2π/3) = 3,

⑥ f(2π/3, 4π/3) =  0,

⑦ f(4π/3, 0) = 3,

⑧ f(4π/3, 2π/3) = 0,

⑨ f(4π/3, 4π/3) = 3

이다.

 

경우 2. x - y / 2 = mπ, m ∈ ℤ 그리고 x / 2 = (n' + 1 / 2)π, n' ∈ ℤ

x = (2n' + 1)π, n' ∈ ℤ이고 y = 2x - 2mπ = (4n' + 2 - 2m)π이다. 

사실상 x = π, y = 0으로 보아도 무방하므로 경우 2에서 기술되는 f의 최솟값 후보는 f(π, 0) = 1이다.

 

경우 3. y / 2 = (n + 1 / 2)π, n ∈ ℤ 그리고 y - x / 2 = m'π, m' ∈ ℤ

cos(y - x) = cos (x - y)이므로 대칭성에 의해 경우 2와 동일하게 f의 최솟값 후보는 f(0, π) = 1이다. 

 

경우 4. y / 2 = (n + 1 / 2)π, n ∈ ℤ 그리고 x / 2 = (n' + 1 / 2)π, n' ∈ ℤ

x = (2n' + 1)π, y = (2n + 1)π이다.

사실상 x = y = π이므로 경우 4에서 기술되는 f의 최솟값 후보는 f(π, π) = 1이다.

 

그러므로 f의 최솟값은 0이다. 

 

⑵

f(x, y) = 0은 f의 최솟값이므로 (x, y)는 ⑴에서 기술되는 극점이어야 한다.

그러므로 {(2π / 3, -2π / 3), (-2π / 3, 2π / 3)}이 답이 된다.

 

 

4. 다음 극한값을 구하여라. 

 

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 다음 세 행렬이 공통의 고유벡터를 갖기 위한 a, b의 필요충분조건을 구하여라. 

 

 

 

Solution. 

증명 1. 세 행렬이 공통의 고유벡터를 가지면 b = a ± 1을 만족한다. 

 

 

0 = x₁² - x₂² = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂)이므로, x₁ / x₂ = 1 or -1이 성립한다.  

x₁ = x₂인 경우, 1 = (a + 1) / b = (b - 1) / a로부터 b = a + 1을 얻을 수 있다.

x₁ = -x₂인 경우, -1 = (-a + 1) / b = (-b - 1) / a로부터 b = a - 1을 얻을 수 있다. 

 

증명 2. b = a ± 1을 만족하면 세 행렬은 공통의 고유벡터를 가진다.

b = a + 1인 경우 다음이 성립한다.

 

 

b = a - 1인 경우 다음이 성립한다.

 

 

 

6. 세 벡터 w_i = (a_i1, a_i2, a_i3) ∈ ℝ³ (i = 1, 2, 3)에 대하여, 행렬 (a_ij)_1≤i,j≤3의 행렬식을 |w₁, w₂, w₃|이라고 하자. 임의의 여섯 벡터 u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃ ∈ ℝ³에 대하여, 다음 등식이 성립함을 보여라.

 

|u₁, u₂, u₃| |v₁, v₂, v₃| = |v₁, u₂, u₃| |u₁, v₂, v₃| + |u₁, v₁, u₃| |u₂, v₂, v₃| + |u₁, u₂, v₁| |u₃, v₂, v₃|

 

 

Solution. 

정식 풀이는 여인수 전개를 활용하지만, 여기에서는 좀 다른 풀이를 소개하고자 한다.

치환을 활용하여 주어진 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

경우 1. σ_a(1) = σ_b(1)

조건을 만족하는 임의의 (σ_a, σ_b)에 대하여,

sgn(σ_a)u_1,σa(1)u_2,σa(2)u_3,σa(3)·sgn(σ_b)v_1,σb(1)v_2,σb(2)v_3,σb(3) [좌변]

= sgn(σ_c)v_1,σc(1)u_2,σc(2)u_3,σc(3)·sgn(σ_d)u_1,σd(1)v_2,σd(2)v_3,σd(3) [우변의 첫 번째 항]

가 성립하도록 σ_c = σ_a, σ_d = σ_b와 같이 설정할 수 있다.

 

또한, 임의의 (σ_e, σ_f)에 대하여,

u_1,σe(1)v_1,σe(2)u_3,σe(3)·u_2,σf(1)v_2,σf(2)v_3,σf(3) [우변의 두 번째 항]

= u_1,σg(1)u_2,σg(2)v_1σg(3)·u_3,σh(1)v_2,σh(2)v_3,σh(3) [우변의 세 번째 항]

이면서 sgn(σ_e)·sgn(σ_f) = -sgn(σ_g)sgn(σ_h)인 (σ_g, σ_h)가 일대일 대응으로 존재한다.

즉, σ_e = σ_g, σ_f = σ_h라고 둔 뒤 σ_e(2)와 σ_e(3)이 서로 뒤바뀐 경우이고, [두 번째 항], [세 번째 항]의 sgn(·)·sgn(·)의 부호가 달라진다.

이때, σ_a(1) = σ_b(1) = σ_e(1) = σ_f(1) = σ_g(1) = σ_h(1)로 둔다는 점에서 σ_a(1) = σ_b(1) 조건이 필요하다.

구체적으로는,

σ_e(1) = σ_g(1) = σ_a(1) = σ_b(1) : u_1,σe(1)과 u_1,σg(1)이 매칭됨

σ_e(2) = σ_g(3) : v_1,σe(2)와 v_1,σg(3)가 매칭됨 

σ_e(3) = σ_g(2) = σ_h(1) : u_3,σe(3)과 u_3,σh(1)이 매칭됨

σ_f(1) = σ_g(2) = σ_h(1) : u_2,σf(1)과 u_2,σg(2)가 매칭됨 

σ_f(2) = σ_h(2) : v_2,σf(2)와 v_2,σh(2)가 매칭됨

σ_f(3) = σ_h(3) : v_3,σf(3)과 v_3,σh(3)이 매칭됨

σ_g(2) = σ_h(1)인 이유 : {σ_g(1), σ_g(2), σ_g(3)} = {σ_h(1), σ_h(2), σ_h(3)} = {1, 2, 3}이기 때문이다.

 

요약하면, 경우 1에서 [우변의 두 번째 항]은 [우변의 세 번째 항]과 서로 상쇄되어 그 합은 0이 된다.

 

경우 2. σ_a(2) = σ_b(1)

조건을 만족하는 임의의 (σ_a, σ_b)에 대하여,

sgn(σ_a)u_1,σa(1)u_2,σa(2)u_3,σa(3)·sgn(σ_b)v_1,σb(1)v_2,σb(2)v_3,σb(3) [좌변]

= sgn(σ_e)u_1,σe(1)v_1,σe(2)u_3,σe(3)·sgn(σ_f)u_2,σf(1)v_2,σf(2)v_3,σf(3) [우변의 두 번째 항]

가 성립하도록 σ_e = σ_a, σ_f = σ_b와 같이 설정할 수 있다. 

 

경우 1과 비슷하게, [우변의 첫 번째 항]은 [우변의 세 번째 항]과 서로 상쇄되어 그 합은 0이 된다. (∵ 대칭성의 원리)

 

경우 3. σ_a(3) = σ_b(1)

조건을 만족하는 임의의 (σ_a, σ_b)에 대하여,

sgn(σ_a)u_1,σa(1)u_2,σa(2)u_3,σa(3)·sgn(σ_b)v_1,σb(1)v_2,σb(2)v_3,σb(3) [좌변]

= sgn(σ_g)u_1,σg(1)u_2,σg(2)v_1,σg(3)·sgn(σ_h)u_3,σh(1)v_2,σh(2)v_3,σh(3) [우변의 세 번째 항]

가 성립하도록 σ_g = σ_a, σ_h = σ_b와 같이 설정할 수 있다. 

 

경우 1과 비슷하게, [우변의 첫 번째 항]은 [우변의 두 번째 항]과 서로 상쇄되어 그 합은 0이 된다. (∵ 대칭성의 원리)

 

경우 1, 경우 2, 경우 3은 서로 교집합이 없고 그 합집합이 전체 집합을 이루는 분할 관계이므로, 주어진 명제가 성립함을 증명하였다.

 

 

7. 다음 극한값을 구하여라. 

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 구간 [0, ∞)에서 정의된 미분 가능한 실함수 x(t), y(t)가 (x(0), y(0)) = (2020, 2020)이고, 모든 양수 t에 대하여 다음 방정식을 만족한다고 하자.

 

x'(t) = -2x(t)y(t) + 3x(t) + 1

y'(t) = x(t)² - x(t) - y(t) + 2

 

이때, 다음 극한값이 존재함을 보이고 그 값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

직관적으로 (x(t), y(t))가 존재함을 보일 수 있다.

맨 처음에 x(0)와 y(0) 값이 충분히 크므로 x'(t)이 큰 음수 값을 가지고 y'(t)는 큰 양수 값을 가진다. 

그러다 보면 x(t)가 비교적 작아지고 y(t)가 비교적 커지는 순간이 와 y'(t)도 음수가 된다. 

따라서 (x(t), y(t))는 (+∞, +∞)으로 발산하지 않는다.

비숫하게 (x(t), y(t))가 무한대로 발산하지 않음을 보일 수 있다.

 

x'(t) = y'(t) = 0으로부터 극점은 (-1.34, 1.13), (-0.15, -1.83), (2.49, 1.70)을 얻는다.

극점 주변에 대한 선형 근사(linearization) 및 Jacobian 행렬은 다음과 같다. 

 

 

(-1.34, 1.13)에 대한 Jacobian 행렬은 -0.13 ± i 3.02의 고유치를 가지므로 주위에 spiral 패턴이 나타난다.

(-0.15, -1.83)에 대한 Jacobian 행렬은 6.61, -0.95이므로 안장점이다.

(2.49, 1.70)에 대한 Jacobian 행렬은 -0.7 ± i 4.44의 고유치를 가지므로 주위에 spiral 패턴이 나타난다.

다만, 선형 근사는 극점 바로 근처에서만 성립할 뿐 조금 벗어나면 위 패턴이 나타나지 않을 수 있음을 주의하자.

이때, 3개의 극점 중에서 (2020, 2020)과 가까운 (2.49, 1.70)이 최종 수렴 지점이 되며, 그러므로 그 값은 4.19가 된다.

 

실제로 다음은 주어진 시스템에 대한 phase portrait (혹은 flow diagram)이다. 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the system of differential equations
def system(X, Y):
    x_prime = -2 * X * Y + 3 * X + 1
    y_prime = X**2 - X - Y + 2
    return x_prime, y_prime

# Set up the grid for the phase portrait with higher density
x_values = np.linspace(-10, 10, 600)  # Higher density
y_values = np.linspace(-10, 10, 600)
X, Y = np.meshgrid(x_values, y_values)

# Calculate the flow of the system at each point in the grid
U, V = system(X, Y)

# Normalize the vectors for better visualization
magnitude = np.sqrt(U**2 + V**2)
U /= magnitude
V /= magnitude

# Plotting the phase portrait with higher density
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.streamplot(X, Y, U, V, color='royalblue', linewidth=0.8, density=2)  # Increased density
plt.title("Phase Portrait of the System with Higher Density")
plt.xlabel("x(t)")
plt.ylabel("y(t)")
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.grid(True)
plt.show()

 

육안으로도 (x(t), y(t))가 (2020, 2020)에서 시작하여 (2.49, 1.70)으로 수렴할 것임을 알 수 있다. 

 

입력: 2024.11.21 08:46