【대수경】 제 39회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 39회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 39회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2020년 11월 14일 (10:00 - 11:30)

 

 

1. 다음 극한값을 구하여라.

 

 

Solution. 

e^x = 1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + ···

sin(x) = x - x³ / 3! + x⁵ / 5! - ···

sin(x²) = x² - x⁶ / 3! + x¹⁰ / 5! - ···

∴ e^x·sin(x²) = x² + x³ + x⁴ / 2! + x⁵ / 3! + ···

∴ e^x·sin(x²) - x² = x³ + x⁴ / 2! + x⁵ / 3! + ···

∴ (준식) = 1

 

 

2. 양의 정수 n은 완전제곱수이고, 마지막 네 자리의 숫자가 모두 같다. 이때, n은 10000의 배수임을 보여라. 

 

 

Solution. 

완전제곱수를 8로 나눈 나머지는 0, 1, 4 중 하나이다. 

n = m²이라고 할 때,

m의 끝자리가 0인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 0000

m의 끝자리가 1, 9인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 1111 → 8로 나눈 나머지가 7이므로 모순 

m의 끝자리가 2, 8인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 4444 

m의 끝자리가 3, 7인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 9999 → 8로 나눈 나머지가 7이므로 모순 

m의 끝자리가 4, 6인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 6666 → 8로 나눈 나머지가 2이므로 모순 

m의 끝자리가 5인 경우 : 마지막 네 자리의 숫자는 5555 → 8로 나눈 나머지가 3이므로 모순 

n의 마지막 네 자리의 숫자가 4444인 경우, n = 4k = m2으로 둘 수 있다. 

따라서 k = (m / 2)2이므로 k도 또한 제곱수이다.

k의 마지막 네 자리의 숫자 1111을 8로 나눈 나머지가 7이므로 모순이다. 

따라서, n의 마지막 네 자리의 숫자는 0000이다.

즉, n은 10000의 배수이다. 

 

 

3. 크기가 n × n이고 영행렬이 아닌 실대칭행렬 Z는 tr(Z) ≤ 0을 만족한다. 이때, 충분히 큰 모든 양의 정수 k에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. (단, I_n은 크기가 n × n인 단위 행렬이다.)

 

 

 

Solution. 

k가 꼭 양의 정수일 필요는 없고, 양의 실수여도 결론은 동일하다.

 

경우 1. tr(Z) ≠ 0이라고 가정하자. 

임의의 n × n 행렬 A의 행렬식 det A는 다음과 같이 정의된다. (단, σ는 치환이다.)

 

 

k가 충분히 크면 (1/k) Z의 모든 성분이 모두 0에 매우 가까운 값이 되므로, A = I_n + (1/k) Z의 행렬식을 구하는 과정에서

 

| A_{iσ(i); σ(i) ≠ i} | ≪ | A_ii |

 

이 성립한다. 따라서 k가 충분히 크면 det A를 다음과 같이 근사할 수 있다.

 

 

k가 충분히 큰 경우 (1/k)이 곱해진 항보다 (1/k²), (1/k³), ···, (1/kⁿ)이 곱해진 항이 훨씬 작아지므로 다음을 얻을 수 있다.

 

 

경우 2. tr(Z) = 0, Z₁₁² + ··· + Z_nn² > 0이라고 가정하면, 다음을 얻을 수 있다.

 

 

경우 3. tr(Z) = 0, Z₁₁ = ··· = Z_nn = 0이라고 가정하면, 다음을 얻을 수 있다. 

 

 

Z가 실대칭행렬이라는 조건은 경우 3에서 필요하다.

 

 

4. 다음 극한값을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 크기가 2020 × 2020인 행렬 A는 계수(rank)가 2이고, 모든 성분이 0 또는 1이다. 행렬 A의 성분을 모두 더한 값을 n(A)라 정의할 때, 가능한 n(A)의 값을 모두 구하여라. 

 

 

Solution. 

다음은 주어진 조건을 만족하는 상태에서 2 ~ 2019 × 2까지 모두 가능함을 보이고 있다. (3번째 이상 열을 1-2번째 열의 선형결합으로 나타냄)

 

 

다음은 주어진 조건을 만족하는 상태에서 2019 × 2 + 1 ~ 2019 × 3까지 모두 가능함을 보이고 있다.

 

 

이렇게 주어진 조건을 만족하는 상태에서 2 ~ 2019 × 2020까지 모두 가능함을 보일 수 있다.

 

 

위 예시에서 첫 번째 열을 두 번째 열에 더하여도 여전히 주어진 조건을 만족함을 보일 수 있다.

 

 

그런데 n(A) = 1이거나 n(A) = 2020²인 경우 주어진 조건을 만족하지 않음은 자명핟. 

따라서 2 ≤ n(A) ≤ 2020² - 1이 모두 가능하다. 

 

 

6. 영역

 

 

에 대하여 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

영역 D를 도식화하면 다음과 같다. 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the region D
x = np.linspace(0, 1, 400)
y = np.linspace(0, 1, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Condition for the region D
condition = np.abs(X - Y) <= 2/3

# Plot the region D
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.contourf(X, Y, condition, levels=[0, 0.5, 1], colors=['white', 'blue'], alpha=0.6)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title(r'Region $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x - y| \leq \frac{2}{3}, 0 \leq x, y \leq 1\}$')
plt.xlim(0, 1)
plt.ylim(0, 1)
plt.grid(True)
plt.show()

 

따라서 준식은 다음과 같다. 

 

 

 

7. 두 번 미분가능한 함수 g : ℝ → (0, ∞)가 주어져 있다. 이계도함수 g"(x)가 모든 점에서 연속이고 g'(0) = g'(1) = 0을 만족하면, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

0 ≤ (a-b)² ⇔ 2ab ≤ a² + b² ⇔ 2ab - a² ≤ b² 으로부터 다음 식을 구할 수 있다.

 

 

f₂(x) = 3g''(x)라고 두면 다음을 얻을 수 있다.

 

 

g'(0) = g'(1) = 0으로부터 다음 식을 얻을 수 있다.

 

 

위 식에서 분모를 g(x)²으로 두면 (준식)에서 주어진 g'(x)⁴ / g(x)²와 비슷한 형태가 되므로 n=1로 두자.

따라서 준식을 증명하는 것은 f₁의 존재성을 보이는 것과 동치이며, 다음과 같이 참이다.

 

 

 

8. 양의 실수열 {a_m,n}_m≥0,n≥1이 모든 양의 정수 m, n에 대하여 다음 조건을 만족한다.

 

a_m+1,n × a_m-1,n+1 = a_m,n × a_m,n+1 - 1,    a_0,n = 1

 

양의 정수 m에 대하여 행렬 B_m = (b_ij)_{1 ≤ i,j ≤ m}을 다음과 같이 정의하자.

 

 

이때, 모든 양의 정수 m에 대하여 a_m,1 = det(B_m)이 성립함을 보여라.

 

 

Solution. 

m = 1, 2인 경우, 주어진 정의에 의해 a_m,1 = det(B_m)임이 자명하게 성립한다.

여인수 전개에 의해 쉽게 다음이 성립함을 보일 수 있다.

 

 

m = 1, ···, k일 때 a_m,1 = det(B_m)이 성립했다고 가정하자. 

이제 (준식)을 증명하는 것은 다음 점화식(※)을 증명하는 것과 같다.

 

 

이 점화식을 증명하기 위해 주어진 점화식을 응용하자. 우선, 다음 식을 얻을 수 있다.

 

 

이때, a_m+1,n / (a_m,n + a_m+2,n) = 1 / a_1,m+n+1에 m = k-1, n = 1을 대입하면 식 (※)을 얻는다. 

 

입력: 2024.09.03 19:01