【대수경】 제 40회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 40회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음 

---

 

제 40회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2021년 11월 13일 (10:00 - 11:30)

 

 

1. 함수 f(x, y, z) = exp(x²y) sin z에 대하여 ∇f(√2, 1/2, π/4)를 구하여라. 단, ∇f는 f의 그래디언트(gradient)이다. 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 크기가 n × n인 실행렬들로 이루어진 실벡터공간을 M_n(ℝ)이라 하자. 행렬 A ∈ M_n(ℝ)에 대하여 선형사상 Φ_A : M_n(ℝ) → M_n (ℝ)을 Φ_A(X) = AX - XA로 정의할 때, det (Φ_A)와 tr (Φ_A)를 구하여라. 

 

 

Solution. 

Φ_A는 n² 차원 벡터를 n² 차원 벡터로 옮기는 n² × n² 선형 사상이라는 사실을 유의 

Φ_A (I) = A - A = O이므로 ker (Φ_A) ≠ ∅가 되어 det(Φ_A) = 0임을 쉽게 알 수 있다. (∵ rank-nullity theorem) 

 

이제 tr(Φ_A)를 구해보자. Φ_A(X)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

 

Φ_A(X) = (a₁ · x₁ + a₂ · x₂ + ··· + a_n · x_n) - (x₁* · a₁* + x₂* · a₂* + ··· + x_n* · a_n*)

그러므로 tr(Φ_A)는 다음과 같다. 

 

 

 

3. 다음 적분값을 구하여라. 

 

 

 

Solution. 

테일러 급수를 이용한다. 

 

 

 

4. 크기가 n × n인 실대칭행렬 A = (a_ij)는 서로 다른 임의의 i, j에 대하여 a_ij ≤ 0을 만족하고, A의 모든 고윳값은 음이 아닌 실수이다. (단, n ≥ 2)

⒜ 행렬 A의 영공간을 N(A)라고 하자. 이때 다음을 보여라.

 

N(A) = { v ∈ ℝⁿ : v · Av = 0 }

 

⒝ 집합 {1, 2, ..., n}의 임의의 진분할 I, J에 대하여 a_ij ≠ 0인 i ∈ I와 j ∈ J가 항상 존재한다고 가정하자. 이때 다음을 보여라. 

 

dim N(A) ≤ 1

 

(단, 공집합이 아닌 두 집합 I, J가 I ∪ J = {1, 2, ···, n}이고 I ∩ J = ∅일 때, I, J를 {1, 2, ···, n}의 진분할이라고 하자. 

 

 

Solution. 

⒜ 공식 풀이를 참고하였다.

가정에 의하여 P^tAP = D (단, D는 직교행렬)이 되는 적당한 직교행렬 P가 존재한다. 

이때 대각행렬 D의 대각원소를 d₁, ···, d_n이라고 하면 가정에 의하여, 모든 i = 1, ···, n에 대하여 d_i ≥ 0이 성립한다.

영공간의 정의

 

N(A) = { v ∈ ℝⁿ : Av = 0 }

 

으로부터

 

N(A) ⊂ { v ∈ ℝⁿ : v · Av = 0 }

 

은 자명하다. (단, v^t는 v의 전치행렬)

역으로, v가 v^tAv = 0을 만족한다고 하자.

이때 w = P^tv라고 하면,

 

0 = v^tAv = v^tPP^tAPP^tv = w^tDw

 

가 된다. 그리고 d_i ≥ 0이라는 사실로부터 Dw = 0을 확인할 수 있다.

따라서 

 

0 = v^tAv = v^tPP^tAPP^tv = w^tDw

 

이므로 Av = 0이 성립한다.

 

⒝ 공식 풀이를 참고하였다.

영공간 N(A)의 차원이 0보다 크다고 가정하자. 즉, dim N(A) > 0 - 가정 1

0이 아닌 벡터 x ∈ N(A)에 대하여 x의 성분의 절대값으로 이루어진 벡터를 z라고 하자.

서로 다른 임의의 i, j에 대하여 a_ij ≤ 0을 만족한다는 주어진 가정을 염두에 두고 z^tAz, x^tAx 식을 전개하면 다음을 얻을 수 있다.

 

0 ≤ z^tAz ≤ x^tAx = 0

 

따라서 ⒜에 의해, 임의의 x ∈ N(A)의 성분의 절대값으로 이루어진 벡터 z는 z ∈ N(A)를 만족한다. - 명제 1

한편, z = (z₁, z₂, ···, z_n)에서 z_i = 0인 모든 i의 집합을 I라고 하고, J = {1, 2, ···, n} - I라 하자. - 가정 2

이때, z ∈ N(A)로부터 다음이 성립함을 유의하자.

 

Az = 0, 또는

 

∑_j a_1j z_j = 0

⋮

∑_j a_nj z_j = 0

 

그런데, 가정 2 하에 ∑_j a_ij z_j = 0이 성립할 수 있을까? i ∈ I라 두면,

 

0 = ∑_j a_ij z_j = ∑_j*∈J a_ij* z_j*, z_j* > 0

⇔ a_ij* = 0 ∀ j* ∈ J

 

이는 a_ij* ≠ 0 ∃ j* ∈ J라는 주어진 조건과 모순이다.

따라서 가정 2은 틀렸고, 그러므로 I 또는 J가 존재하지 않는다. 

그리고 a_ij* ≠ 0 ∃ j* ∈ J라는 조건을 조금만 검토하면 I가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. - 명제 2

z의 모든 성분이 양수이므로 x의 모든 성분이 0이 아님을 알 수 있다. - 명제 3

dim N(A) > 1이라고 가정하자. - 가정 3

이때 x, y ∈ N(A)인 일차독립인 x, y를 찾을 수 있다. 

∀a, b ∈ ℝ, ax + by ∈ N(A)인데 ax + by의 임의의 한 성분이 0이 되도록 a, b를 적절하게 선택할 수 있다. - 명제 4

명제 4는 명제 3과 모순이므로, 가정 3은 틀렸다.

가정 1 및 가정 3의 역에 의해 dim N(A) ≤ 1이 성립한다.

 

 

5. 다음 적분값을 구하여라.

 

 

(단, [t]는 실수 t를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)

 

 

Solution. 

주어진 적분 구간에서 [x² + y]는 다음과 같은 분포를 갖는다.

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the resolution of the grid
resolution = 500

# Create a grid of x and y values
x = np.linspace(0, 1, resolution)
y = np.linspace(0, 1, resolution)

# Create a meshgrid for x and y
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Calculate [x^2 + y] where [] denotes the floor function
Z = np.floor(X**2 + Y)

# Plotting
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.imshow(Z, origin='lower', extent=[0, 1, 0, 1], cmap='viridis')
plt.colorbar(label='[x^2 + y] value')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Plot of [x^2 + y] for x, y ∈ [0, 1]')
plt.show()

 

따라서, 주어진 적분식은 

 

 

 

6. 크기가 n × n인 서로 다른 k개의 가역행렬들로 이루어진 집합 S = {A₁, A₂, ···, A_k}가 있다. (단, n, k ≥ 2) 임의의 A_i ∈ S에 대하여 S = {A₁A_i, A₂A_i, ···, A_kA_i}가 성립할 때, 

 

(A₁ + A₂ + ··· + A_k) - A_t

 

가 가역행렬이 되는 A_t ∈ S가 존재함을 보여라. 

 

 

Solution. 

M을 다음과 같이 정의하자.

 

M = A₁ + A₂ + ··· + A_k

 

주어진 조건에 의해,

 

M × A₁ = M

M × A₂ = M

⋮

M × A_k = M

 

따라서, M × (A₁ + ··· + A_k) = M² = kM이 성립한다.

M² - kM + (k/2)² I = (k/2)² I이 성립하므로, M = (k/2) I ± (k/2) I = O or kI가 성립한다.  

 

경우 1. M = O 

(A₁ + ⋯ + A_k) - A_t = M - A_t = -A_t이므로 A₁, ⋯, A_k가 가역이라는 사실로부터 쉽게 준 명제가 성립한다.

 

경우 2. M = kI

M × A_t = kA_t = A_t (단, A_t = 가역행렬)로부터 k = 1이 성립한다.

이는 k ≥ 2라는 조건과 모순이다. 

 

그러므로 준 명제가 성립한다.

 

 

7. 크기가 3 × 3인 직교행렬 A와 B가 유한집합

 

{(x, y, z) ∈ ℝ : x, y, z는 정수, x² + y² + z² ≤ 2 }

 

에서 고윳값이 -1인 고유벡터를 두 개, 고윳값이 1인 고유벡터를 세 개 이상 가진다고 하자. 이때 (AB)², (AB)³, (AB)⁴ 중에 적어도 하나는 단위행렬 I₃임을 보여라. 

 

 

Solution. 

주어진 유한집합을 R이라 하면, R = {(0, 0, 0), (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1), (±1, ±1, 0), (±1, 0, ±1), (0, ±1, ±1)}와 같다.

임의의 v ∈ R가 있으면, -v ∈ R도 성립한다.

A가 R에서 고윳값이 -1인 고유벡터를 두 개 가지고 있음은 어떤 ±v ∈ R이 있어 Av = -v, A(-v) = v가 성립한다는 의미이다.

또한, A가 R에서 고윳값이 1인 고유벡터를 세 개 이상 가지고 있음은 ±v₂, ±v₃ ∈ R이 있어 A(±v₂) = ±v₂, A(±v₃) = ±v₃이 성립함을 의미한다.

따라서 A는 v = av₁ + bv₂ + cv₃로 표현되는 벡터 v를 v' = (-av₁) + bv₂ + cv₃으로 옮기는 선형사상이 된다.

 

그러므로 A는 벡터 v ∈ R에 수직한 평면에 대한 대칭변환이다.

같은 방법으로 B는 적당한 벡터 v ∈ R에 수직한 평면에 대한 대칭변환이다.

벡터 v, w가 이루는 각을 θ라고 하면, AB는 v, w에 수직인 직선은 고정시키고, v, w가 이루는 평면은 ±2θ만큼 회전이동을 시키는 변환이다.

 

 

한편 R의 임의의 두 벡터가 이루는 각은 

 

kπ/4 (k = 0, 1, 2, 3) 또는 lπ/3 (l = 0, 1, 2, 3)

 

이므로, 준 명제가 성립한다.

 

 

8. 실수에서 정의된 두 번 미분가능한 실함수 f가 

 

 

을 만족한다고 하자. 이때 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

대수경 공식 풀이를 참고하였다.  

중간에 코시-슈바르츠 부등식(※)을 사용하였다.

 

 

입력: 2024.04.05 09:14

수정: 2024.04.17 10:08