【유기화학】 알케인의 구조이성질체와 그래프 이론

알케인의 구조이성질체와 그래프 이론 

 

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Q. 문제

 

C₃H₈부터 C₂₀H₄₂까지의 구조 이성질체의 개수를 조사하고 그 추이를 분석하여라.

즉, 전체 노드의 개수가 n이고 각 노드별 최대 연결의 개수가 4개일 때, 구조적으로 구별되는 네트워크의 개수를 구하는 문제이다.

 

 

A. 풀이 

 

탄소 수에 따른 알케인의 구조이성질체 모두 그리는 코드는 다음과 같다. 이를 응용하여 쉽게 구조이성질체의 수도 구할 수 있다.

 

from rdkit import Chem
from rdkit.Chem import Draw
from rdkit.Chem import AllChem
from rdkit.Chem.rdchem import Mol
from IPython.display import display

def generate_alkanes(n_carbons):
    if n_carbons == 1:
        return [Chem.MolFromSmiles('C')]
    elif n_carbons == 2:
        return [Chem.MolFromSmiles('CC')]
    
    smaller_alkanes = generate_alkanes(n_carbons - 1)
    new_alkanes = set()
    
    for mol in smaller_alkanes:
        for atom in mol.GetAtoms():
            if atom.GetDegree() < 4:  # 탄소는 최대 4개의 결합을 가질 수 있음
                new_mol = Chem.RWMol(mol)
                new_idx = new_mol.AddAtom(Chem.Atom(6))
                new_mol.AddBond(atom.GetIdx(), new_idx, Chem.BondType.SINGLE)
                Chem.SanitizeMol(new_mol)
                smiles = Chem.MolToSmiles(new_mol, canonical=True)
                new_alkanes.add(smiles)
    
    return [Chem.MolFromSmiles(smiles) for smiles in new_alkanes]

# C7H16의 모든 구조 이성질체 생성 및 시각화
n_carbons = 7
alkanes = generate_alkanes(n_carbons)
img = Draw.MolsToGridImage(alkanes, molsPerRow=5, subImgSize=(200, 200))

# 이미지를 직접 디스플레이 (Jupyter 노트북에서만 동작)
display(img)

 

⑴ C₄H₁₀의 구조이성질체 (2개)

 

 

⑵ C₅H₁₂의 구조이성질체 (3개)

 

 

⑶ C₆H₁₄의 구조이성질체 (5개)

 

 

⑷ C₇H₁₆의 구조이성질체 (9개)

 

 

⑸ C₈H₁₈의 구조이성질체 (18개)

 

 

⑹ C₉H₂₀의 구조이성질체 (35개)

 

 

⑺ C₁₀H₂₂의 구조이성질체 (75개)

 

 

 

다음은 탄소 수에 따른 구조이성질체의 수이다.

 

화학식	구조이성질체의 수
C3H8	1
C4H10	2
C5H12	3
C6H14	5
C7H16	9
C8H18	18
C9H20	35
C10H22	75
C11H24	159
C12H26	355
C13H28	802
C14H30	1,858
C15H32	4,347
C16H34	10,359
C17H36	24,894
C18H38	60,523
C19H40	148,284
C20H42	366,319
C30H62	4,111,846,763
C40H82	62,481,801,147,341

Table. 1. 탄소 수에 따른 알케인의 구조이성질체의 수

 

다음은 탄소 수에 따른 알케인의 구조이성질체의 수의 추이이다.

 

 

구조이성질체의 수를 로그 취하고, 탄소 수에 대하여 선형회귀 분석을 하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

 

log₁₀ (구조이성질체의 수) = 0.3723 × 탄소 수 - 1.7067

 

따라서 탄소 원자의 수가 1개 증가할 때마다 구조이성질체의 수는 10^0.3723 = 2.36배 증가한다는 결과를 얻었다. 최대 결합수가 3인 경우에는 이보다 낮은 약 1.91배 정도 증가했으며 (C₃ ~ C₂₀ 구간에서 계산), 최대 결합수가 2인 경우 구조이성질체의 수는 항상 1로 일정하다. 이로 인해 구조이성질체의 수를 정확하게 표현하는 수식은 아직 발견되지 않았지만, 구조이성질체의 수가 분명히 등비수열을 따르고 있으며, 그 등비는 원자의 최대 결합수가 증가함에 따라 증가한다는 것을 알 수 있다. 이를 이해하기 위해 탄소 원자의 수를 n, 구조이성질체의 수를 f(n)이라 두고, 다음과 같은 점화식을 분석해 보자.

 

f(n) × n / (대칭성에 의한 중복) – g(n) = f(n+1) × (평균적인 말단 탄소 개수)

 

○ f(n) × n / (대칭성에 의한 중복)은 탄소 수가 n인 모든 구조이성질체의 각 탄소에 새로 탄소를 1개 연결한 경우를 의미한다. 이때, 180°, 120° 대칭성 등에 의해 중복된 구조가 발생하는데, n이 커질수록 180° 대칭성이 주로 나타나므로 (대칭성에 의한 중복)이 2로 수렴한다.

○ g(n)은 f(n)의 모든 4차 탄소 개수를 나타낸다. 한 분자 내에도 2개 이상의 4차 탄소가 있을 수 있다. 여기에 추가적인 탄소가 연결되면 5차 탄소가 되어 옥텟 규칙을 위반하게 되므로, 이는 경우의 수 계산에서 제외하여야 한다. 그리고 최대 결합수가 4가 아닌 경우, g(n)의 정의는 최대 결합수를 가지는 탄소 개수를 의미하는 것으로 해석한다. 

○ f(n+1) × (평균적인 말단 탄소 개수)는 n+1개의 탄소를 가진 각 구조 이성질체에서 f(n)을 기반으로 새롭게 형성될 수 있는 말단 탄소의 평균 개수를 나타낸다. 최대 결합수가 적어지면 평균적인 말단 개수가 줄어들며, 극단적으로는 최대 결합이 2인 경우 말단 개수는 언제나 2개이다 (e.g., C-C-C).

 

탄소 수가 충분히 많을 경우, (대칭성에 의한 중복)은 2로 수렴하고, g(n)은 f(n) × n / (대칭성에 의한 중복)에 비해 충분히 작아지며 (단, 최대 결합수가 2인 경우 g(n)을 무시할 수 없다), 전체 탄소 중 말단 탄소의 비율은 대체로 일정하게 유지될 것이라는 것을 직관적으로 이해할 수 있다. (평균적인 말단 탄소 개수)가 전체 탄소 중 20% 정도라고 가정하면, f(n+1) / f(n)의 비율이 왜 일정하게 유지되는지 이해할 수 있다.

 

f(n+1) / f(n) ≃ n / [(대칭성에 의한 중복) × (평균적인 말단 탄소 개수)] = 2.5

 

입력: 2024.06.20 10:13