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【회로이론】 12강. 직류회로이론

 

12강. 직류회로이론 (time-domain)

 

추천글 : 【회로이론】 회로이론 목차


1. 직렬-병렬 합성 [본문]

2. 키르히호프 법칙 [본문]

3. 중첩의 원리 [본문]

4. 등가회로 [본문]

5. 과도현상 [본문]


 

1. 직렬-병렬 합성(series-parallel simplification) [목차]

전원의 직렬-병렬 합성

전압원의 직렬연결로 인한 합성 전압은 각 전압원의 전압의 총합과 같움

서로 다른 전압을 내는 전압원의 병렬연결 시 폭발할 수 있음

서로 같은 전압 v를 내는 전압원의 병렬연결 시 합성 전압은 v (수명 )

서로 다른 전류를 내는 전류원의 직렬연결 시 폭발할 수 있음

서로 같은 전류 i를 내는 전류원의 직렬연결 시 합성 전류는 i임 (수명 )

전류원의 병렬연결로 인한 합성 전류는 각 전류원의 전류의 총합과 같음

⑵ 부하의 직렬-병렬 합성 : 여러 소자들을 하나의 소자로 취급할 수 있음

저항의 직렬연결

 

Figure. 1. 저항의 직렬연결

 

 

저항의 병렬연결

 

Figure. 2. 저항의 병렬연결

 

 

커패시터 직렬-병렬 합성

코일의 직렬-병렬 합성

응용 : 각 소자의 전력의 합과 합성 소자의 전력과 같음

○ 모든 전력은 전원에서 공급

○ 전원을 흐르는 전류는 소자 각각으로 계산한 것과 합성 소자로 계산한 것이 같음

⑶ 밀만의 정리(Milman's theorem)

① 두 개의 저항이 있는 경우

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 3. 밀만의 정리]

 

R1, ···, Rn에 대하여 유사한 형태로 확장할 수 있음

 

 

2. 키르히호프 법칙(Kirchhoff's law) [목차]

키르히호프 전류법칙(KCL, Kirchhoff current law) : 전하의 연속방정식. node 중심 해석

 

Figure. 4. 키르히호프 전류법칙

 

 

① 키르히호프 법칙은 선형 / 비선형, 집중정수계 / 분포정수계, 시변 / 시불변에 관계없이 적용 가능

흘러 나가든 흘러 들어가든 반드시 한 가지로 통일 : 음의 값도 고려

○ 전자기학 관점 : 열 물리처럼 계에서 나가는 경우를 양의 값으로 함. 임의의 node에서 나가는 전류의 합은 0임

 

 

전자공학 관점 : 열 화학처럼 계로 들어가는 경우를 양의 값으로 함. 임의의 node로 들어오는 전류의 합은 0임

 

 

node voltage analysis이라고도 함 : node의 전압을 정의한 뒤 KCL을 이용하기 때문

④ 슈퍼노드(super-node) : 전원과 연결돼 있는 두 개 이상의 node로 구성. 미지수를 줄일 수 있음

 

Figure. 5. 슈퍼노드

 

 

. mesh current analysis보다 node voltage analysis를 추천

예제 1.

Figure. 6. 예제 1

 

 

예제 2.

 

Figure. 7. 예제 2

 

 

키르히호프 전압법칙(KVL, Kirchhoff voltage law) : 메시 또는 루프 중심 해석

① 경로(path)의 유형

○ 메시(mesh) : 가장 기본이 되는 회로

○ 루프(loop) : 단선된 부분이 없이 이어진 회로. 폐곡선, 폐루프라고도 함

○ 예시

 

출처: 서울대학교 전기정보공학개론(김용권) 강의

 

Figure. 8. path의 유형]

 

: 이것은 path가 아님. KVL이 성립하지 않음

: 이것은 path가 아님. 같은 node를 두 번 지나기 때문

: 이것은 다른 loop를 내부에 포함한다는 점에서 mesh가 아님

:와 같은 이유로 이것은 mesh가 아닌 loop임

⒠, ⒡ : 이것은 loop이면서 mesh임

굳이 mesh를 잡을 필요는 없음 : 하지만 일차독립인 연립방정식을 만들려면 mesh로 하는 게 전략적

임의의 폐곡선의 전압강하(voltage drop)의 합은 0임

 

 

Figure. 9. 키르히호프 전압법칙

 

 

mesh current analysis이라고도 함 : 각 mesh를 정의한 뒤 KVL을 적용하기 때문

mesh마다 mesh current를 지정

각 소자에 흐르는 전류는 mesh current의 합 또는 차로 표현

mesh 위에서 KVL을 적용한다.

팁. mesh current를 지정하지 않고, 미지의 지점을 변수로 지정할 수도 있음

증명 1.

○ 기본적으로 전기장 E는 보존장 : 임의의 폐곡선을 X(t), a ≤ t ≤ b로 매개화할 수 있음 (, X(a) = X(b))

○ 수식 전개 : grad V = E에 대해

 

 

○ (참고) 이 증명은 보존장에 대한 에너지 보존 법칙을 유도할 때 동일하게 쓰임

○ (참고) Edl의 내적은 전압강하를 의미

○ (참고) 에너지 보존 법칙과 전압강하 해석을 결합 : 전위의 감소만큼 단위전하에게 일이 가해짐

증명 2.

○ 맥스웰 3법칙 : Faraday 법칙. 외부 자기장의 변화는 전계를 유도

 

 

○ 외부 자기장의 변화가 없는 경우 curl E 벡터 = 0 : Green 정리 이용

 

 

한계 : KCL로밖에 풀 수 없는 문제가 있음 (: Op Amp)

예제 1.

Figure. 10. 예제 1

 

 

모든 회로는 KCLKVL로 풀 수 있음

① 따라서 임의의 지점의 전압과 전류를 알 수 있음

② (주석) 등가회로의 존재성과 귀납법을 통해 증명할 수 있을 듯

 

 

3. 중첩의 원리(superposition principle) [목차]

⑴ 정의 : 회로 내 독립전원이 둘 이상인 경우 각각의 독립전원으로 인한 제어량을 합한 것은 실제 제어량과 같음

① 선형소자 : 중첩의 원리가 적용되는 소자. 저항(R), 커패시터(C), 인덕터(L), 선형 전원 등

② 전기장이 선형성이 있으므로 중첩의 원리가 성립

전력은 적용되지 않음

④ 소신호 해석(small-signal analysis)에서도 중첩의 원리를 적용할 수 있음  

 

 

⑵ 평균전력의 중첩의 원리 : 주기를 가지는 전원에 대하여

교류 전원의 전력은 평균전력을 의미

 

Figure. 11. 평균전력의 중첩의 원리

 

② 대부분 평균전력의 중첩의 원리가 적용되지 않음

 

 

주파수가 모두 다른 교류전원으로만 구성된 경우 평균전력 중첩의 원리가 적용 가능

 

 

예제

Figure. 12. 중첩의 원리 예제

 

 

① 전원의 제거

Figure. 13. 전원의 제거

 

② 1st. 독립 전류원 제거 : 전류를 0으로 함 ⇔ 개방회로(open)

Figure. 14. 독립 전류원 제거

 

 

 

③ 2nd. 독립 전압원 제거 : 전압을 0으로 함 ⇔ 단락회로(short)

Figure. 15. 독립 전압원 제거

 

 

④ 3rd. 부하 전압은 두 독립전원에 대해 선형적

 

 

 

4. 등가회로 : 부하효과가 동일한 회로 [목차]

⑴ 부하효과(loading effect) : 개방전압과 부하전압이 달라지는 현상

개방전압

Figure. 16. 개방전압

 

 

부하전압

Figure. 17. 부하전압

 

 

 

테브낭 등가회로(Thevenin equivalent circuit)

표현

Figure. 18. 테브낭 등가회로 표현

 

Rth가 음수이면 종속 전원이 존재한다는 의미

○ 독립 전원만 존재한다면 테브낭 등가저항 Rth는 항상 양수

② 실험상 방법

 

Figure. 19. 실험상 방법

 

 

Itest - Vtest 그래프를 통해 Vth와 Rth를 계산

 

 

○ 개방전압 측정 : 내부저항이 각각 R1, R2인 전압계로 측정한 개방전압이 V1, V2라고 정의

 

 

③ 테브낭 등가회로 예제

Figure. 20. 테브낭 등가회로 예제

 

 

노튼 등가회로(norton equivalent circuit) : Thevenin 등과회로와 쌍대를 이룸

표현

Figure. 21. 노튼 등가회로 표현

 

테브낭 - 노튼 가역성(source transformation)

① 수식화

 

 

테브낭 - 노튼 가역성 : 저항

 

Figure. 22. 저항의 테브낭 - 노튼 가역성

 

 

③ 테브낭 - 노튼 가역성 : 커패시터

테브낭 - 노튼 가역성 : 코일

⑤ 테브낭 - 노튼 가역성 증명

Figure. 23. 테브낭 - 노튼 가역성 증명

 

 

Lemma 1. 다음과 같은 회로는 항상 등가화가 가능 (존재성)

① 모든 회로가 등가화 가능한 것은 아님

부하 부분에는 어떤 소자가 와도 상관없음

case 1. 등가화가 적용되는 영역이 모두 저항과 전원으로 이루어진 회로

전략 : 회로 내 특정 소자를 기준으로 그것과 가까운 소자부터 테브낭 등가회로를 그려 나감

중간에 저항을 만났을 경우 : 테브낭 - 노튼 가역성(source transformation)을 이용

 

출처: 서울대학교 전기정보공학개론(김용권) 강의

 

Figure. 24. 등가화 증명]

 

중간에 전압원을 만났을 경우 : vtest = itestRth + vth에서 vth에 변화를 줌

중간에 전류원을 만났을 경우: 노튼 등가회로로 바꾼 뒤 KCL을 적용

독립전원만 있는 회로에서는 결코 Rth가 음수일 수 없음

case 2. 모든 전원이 동일한 주파수를 갖는 교류회로일 경우: R, L, C를 저항처럼 간주할 수 있기 때문

Lemma 2. 모든 회로는 유일한 Thevenin 등가회로를 가짐 (유일성)

① 한 회로가 AB라는 Thevenin 등가회로를 가진다고 가정

이때 회로 내 두 단자의 개방전압(open voltage)가 같아야 함 ⇒ ABVth는 서로 같음

회로 내 두 단자의 단락전류(short current)가 같아야 함 ⇒ ABVth ÷ ith = Rth가 서로 같음

결론 : AB는 동일

Lemma 3. 임의의 회로와 그것의 등가회로의 소모 전력은 서로 다를 수 있음

 

출처: 서울대학교 전기정보공학개론(김용권) 강의

Figure. 25. 등가회로의 소모전력이 같지 않음을 보여주는 예]

 

 

① ⒜의 경우 : N 내부에서 저항에서의 소모 전력은 10 W

② ⒝의 경우 : Nth 내부에서 저항에서의 소모 전력은 1 W

두 단자에 대해 ⒜와 ⒝가 부하효과가 같기 때문에 부하전력은 항상 같음

한 시스템이 부하저항에 가할 수 있는 최대전력

① 신호 분야의 조건

 

 

② 전력 분야의 조건

 

 

③ 신호 분야에서 저항 R이 갖춰야 하는 조건

 

 

 

5. 과도현상(transient phenomenon) [목차]

⑴ 정의 : R, L, C 소자 해석에 있어 미분방정식을 활용하는 것

⑵ 일반해(general solution), 완전해(complete solution) = 재차해 + 특해

⑶ 제차해(homogeneous solution), 과도해(transient solution)

① 정의 : 미분방정식의 계수에 의해 결정되는 해

⑷ 특수해(particular solution), 정상상태 해(steady state solution, static state solution)

① 정의 : 구동항의 형태에 의해 결정되는 해

② 구동항 : 일반적으로 좌변은 선형 미분방정식, 우변은 특정 함수로 둠. 그 특정 함수를 지칭

 

입력: 2016.01.05 19:49

수정: 2018.12.11 23:52