【통계학】 10강. 통계학 주요 정리 2부

10강. 통계학 주요 정리 2부

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차

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1. 복원추출에서 표본표준편차 계산 [본문]

2. 비복원추출에서 표본표준편차 계산 [본문]

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1. 복원추출에서 표본표준편차 계산 [목차]

⑴ 정리

모집단에서 추출한 표본들 X₁, X₂, ···, X_n에 대하여 표본표준편차를

 

 

이 아니라

 

 

으로 정의하는 이유는 무엇일까? 표본집단 ≠ 모집단일 때 모평균 m을 추정할 때 모표준편차 σ의 값을 모르는 것이 보통이므로, 모표준편차를 표본표준편차로 대신할 수 있다고 하였다. σ를 대신하기에 S_n과 S 중 어느 것이 더 적절한지 생각하자.

⑵ 증명

다음은 S_n²의 기댓값 E(S_n²)을 구한 것이다.

 

 

E(S_n²) = (n -1)/n × σ²이므로 S_n²은 모집단의 분산 σ²보다 작아지는 경향이 있다. S_n²에 n/(n - 1)을 곱한 S²의 기댓값은

 

 

이므로, S²이 S_n²보다 모분산을 대신하기에 더 적절하다.

 

 

2. 비복원추출에서 표본표준편차 계산 [목차]

⑴ 정리

크기가 N이고, 모평균이 m, 모분산이 σ²인 모집단에서 크기 n인 표본을 비복원추출할 때, 표본평균의 분산은

 

 

임을 증명하시오.

⑵ 증명

모집단의 변량들을 각각 a₁, a₂, ···, a_N이라 하자. b_i = a_i - m이라 두면, 다음과 같다.

 

 

으로 정의하면 모집단에서 크기 n인 표본 x₁, x₂, ···, x_n을 비복원추출했을 때, 가능한 모든 표본평균에 대하여 각각의 a_i는 _N-1C_n-1번 등장한다. 따라서

 

 

표본평균의 분산은 편차제곱의 평균이므로

 

 

에서 b₁², b₂², ···, b_N²은 각각 _N-1C_n-1번씩 등장하고, b₁b₂, ···, b_N-1b_N은 각각 _N-2C_n-2번씩 등장하므로

 

 

입력 : 2019.06.18 21:39