【통계학】 8강. 확률변수변환

8강. 확률변수변환(random variable transformation)

 

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차

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1. 개요 [본문]

2. 적률생성함수기법 [본문]

3. 분포함수기법 [본문]

4. 변환기법 [본문]

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1. 개요 [목차]

⑴ 확률변수변환 : Y = f(X)가 있고 p_X(x)를 알고 있을 때, p_Y(y)를 구하는 방법론

⑵ 종류 1. 적률생성함수기법(moment generating function technique)

⑶ 종류 2. 분포함수기법(distribution function technique) : 2-step method

⑷ 종류 3. 변환기법(transformation technique) : 1-step method

 

 

2. 적률생성함수기법 [목차]

⑴ 정의

 

 

⑵ 적률생성함수와 확률분포는 일대일대응

⑶ 예제 : X ~ N(μ, σ²)이면 Y = aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²)

 

 

 

 

3. 분포함수기법 [목차]

⑴ 정의

 

 

⑵ 예제 1. X ~ u[-1, 1], Y = X²

 

 

⑶ 예제 2. Y = max｛X₁, ···, X_n｝, X_i : i.i.d.

 

 

⑷ 예제 3. Y = min｛X₁, ···, X_n｝, X_i : i.i.d.

 

 

 

4. 변환기법 [목차]

⑴ 전제

① 일대일대응일 때 가능한 방법

② 전제조건에 의해 Y = u(X), X = ω(Y)인 함수 u, ω가 존재

⑵ 이산확률변수의 변환기법

 

 

⑶ 연속확률변수의 변환기법

① 개요

 

 

 

○ ω(Y)가 단조증가함수일 때

 

 

○ ω(Y)가 단조감소함수일 때

 

 

② 확장

○ 야코비안(Jacobian) : 함수행렬식의 일종. 기하학적으로 면적확대율을 의미

 

 

 

○ x₁ = f₁^-1(y₁, y₂), x₂ = f₂^-1(y₁, y₂)에 대해,

 

 

○ J ≠ 0이면 일대일대응이 성립

③ (중요) 일대일대응을 우회하는 방법

○ 전제 : p_X(x) = e^-x (x ＞ 0), p_Y(y) = e^-y (y ＞ 0), Z = X + Y

○ 문제 : p_Z(z)

○ 계산

 

 

입력 : 2019.06.19 11:39