【대수경】 제 33회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 33회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야 

 

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제 33회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2014년 11월 15일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음 극한값을 계산하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 양의 정수 n에 대하여 n × n 실행렬 A와 B가 주어져 있다. 다음 2n × 2n 실행렬

 

 

는 det(C_t) = det(A + tB) det(A - tB)를 만족함을 보여라 (단, t는 실수).

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 다음 조건을 만족하는 연속함수 f : [0, ∞) → (0, ∞) 을 모두 구하여라.

 

모든 실수 x, y ≥ 0에 대하여, f(x) f(y) = max { f(t) : | x - y | ≤ t ≤ x + y }.

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 양의 정수 n에 대하여 모든 n × n 복소행렬들로 이루어진 복소벡터 공간을 M_n(ℂ)라 하자. 행렬 A ∈ M_n(ℂ)가 A⁶ - A³ + I = O을 만족한다 (단, I는 단위행렬, O는 영행렬). 선형사상 T : M_n(ℂ) → M_n(ℂ) 가 T(B) = AB로 주어졌을 때 T는 대각화 가능함을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 함수 f : ℝ → ℝ은 두 번 미분가능하고 f(0) = 0을 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 양의 정수 n에 대하여 n × n인 실행렬 A, B가 xA + yB = I (단, x, y는 0이 아닌 실수), AB = O을 만족할 때 다음이 성립함을 보여라.

 

det (A + B) = 1 / (x^rank(A) y^rank(B))

 

 

Solution. 

 

 

 

7. f : [a, b] → ℝ가 [a, b]에서 연속이고, 임의의 0 ≤ t ≤ 1와 a ≤ x, y ≤ b에 대하여, f(tx + (1 - t)y) ≤ tf(x) + (1 - t)f(y)를 만족한다 (단, a < b). 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 양의 무리수 α에 대하여 수열 { q_n }, n ≥ 1을 q_n = [ nα ] / n로 정의하면 수열 { q_n }, n ≥ 1은 단조 증가수열이 아님을 보여라 (단, [x]는 x을 넘지 않는 최대 정수).

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.08.22 11:29