【대수경】 제 32회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 32회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 32회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2013년 10월 5일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 주어진 2013 × 2013 행렬 A의 임의의 행은 서로 다른 2013 이하의 양의 정수로 이루어져 있다. 행렬 A의 행렬식이 2013의 배수임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 다음 영역의 부피를 구하여라.

 

{ (x, y, z) ∈ ℝ³  : (x² + y² + 4z² + 3)² ≤ 16(x² + y²) }.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 임의의 양의 정수 n에 대하여, 방정식 xⁿ + x^n-1 + x - 1 = 0의 음이 아닌 유일한 실수해를 x_n이라 하자. 이때, 수열 { x_n }은 증가수열이고 1로 수렴함을 증명하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 임의의 n × n 실행렬 A, B와 n × n 단위행렬 I에 대하여 다음을 증명하여라.

 

rank(I + AB) = rank(I + BA)

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 집합 S를 다음과 같이 정의하자.

 

S = { n ∈ ℤ : 2x² + xy + 4y² = n인 정수 x, y가 존재한다. }

 

⑴ 임의의 m ∈ S에 대하여 2m ∈ S임을 보여라.

⑵ 임의의 m, n ∈ S에 대하여 mn ∈ S임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 실수에서 정의된 두 번 미분 가능한 함수 f는 임의의 x ∈ [ 0, 1 ]에 대하여 f(x) ≥ 0이고 f ''(x) ≤ 0을 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 크기가 n × n인 실행렬 A의 모든 행벡터의 크기는 1이고 tr(A) > √(n(n - 1))일 때, det(A) ≠ 0임을 보여라 .

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 단조 증가하는 함수 f : [ 1, ∞ ) → ( 1, ∞ )는 임의의 x에 대하여 다음 조건을 만족한다.

 

f(x)² ≤ f(4x) ≤ 2013^√x

 

이때, 다음 극한값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.08.28 11:21