【대수경】 제 32회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 32회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 32회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 2 분야

 

2013년 10월 5일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음 우극한값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 양의 정수 n(≥ 2)과 실수 a, b에 대하여, n × n 행렬 M_n(a, b)의 대각성분은 모두 a이고 나머지 성분은 모두 b이다. 행렬 M_n(a, b)의 행렬식을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 삼차원 공간 ℝ³에 다섯 개의 점 A = (2, 0, -1), B = (-1, 3, -1), C = (-3, 1, 1), P = (-2, 1, 1), Q = (1, 1, -2)가 주어져 있다.

⑴ 선분 PQ가 삼각형 ABC의 내부와 만남을 보여라.

⑵ 다섯 개의 점 A, B, C, P, Q를 꼭짓점으로 갖고, 모든 면이 삼각형이 볼록 육면체의 부피를 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 다음 두 적분에 대한 등식

 

 

이 성립함을 보이고, 그 공통된 적분값을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 임의의 n × n 정사각행렬 A, B와 n × n 단위행렬 I에 대하여 다음을 증명하여라. 

 

det(I + AB) = det(I + BA).

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 단위원 위에 서로 다른 네 점을 무작위로 잡아 그 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형들을 생각하자. 이때, 이러한 사각형들의 넓이의 평균값을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 크기가 n × n인 실행렬 A의 모든 행벡터의 크기는 1이고 tr(A) > √(n(n - 1))일 때, det(A) ≠ 0임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 모든 실수 x에 대하여 다음 부등식

 

 

을 만족하는 x와 무관한 양의 상수 C가 존재함을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.08.30 21:20