【대수경】 제 31회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 31회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 31회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 2 분야

 

2012년 11월 17일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음과 같이 주어진 행렬 A에 대하여 A²⁰¹²의 모든 성분의 합을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 다음 조건을 만족하는 연속함수 f : [0, 1] → [0, ∞)를 모두 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 좌표평면상에 주어진 직선 y = x와 곡선 y = x²으로 둘러싸인 부분을 y = x를 축으로 하여 회전하였을 때 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 두 점 P = (0, 1), Q = (2√3, 3)와 x 축 위의 임의의 점 X에 대하여, 다음 식의 최솟값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 다음 조건을 만족하는 모든 n × n 행렬 A에 대하여 tr(A)가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, I는 단위행렬이다.)

 

⑴ A² = I,                ⑵ rank(A + I) = 1.

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 실수 x, y, z에 대하여, m_k = 1/3 × (x^k + y^k + z^k)으로 정의한다. 만약 m₁ = 0이면 다음의 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 수열 { e_n }을 e_n = (1 + 1/n)ⁿ으로 정의할 때, 다음의 극한값을 계산하여라. (단, e는 자연로그의 밑이다.)

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 모든 성분이 실수인 대칭행렬 A가 다음 조건을 만족시킬 때, A의 어떤 고유치는 1보다 크다는 것을 보여라.

 

⑴ A의 모든 대각성분은 0이다.

⑵ A의 어떤 성분은 1보다 크다.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.09.06 21:03