【대수경】 제 31회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 31회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 31회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2012년 11월 17일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음 적분값 J를 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 다음을 만족하는 정사각행렬 A, B가 존재하지 않음을 보여라. (단, I는 단위행렬이다.)

 

(AB)²⁰¹² - (BA)²⁰¹² = I.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 다음 우극한값을 계산하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 주어진 정수 n ≥ 2에 대하여 다음 조건을 만족하는 n × n 행렬 A의 tr(A)가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, I는 단위행렬이다.)

 

⑴ rank(A + I) = 1,             ⑵ tr(A) = tr(A³)

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 실수에서 정의된 미분가능한 함수 f(x)가 다음을 만족한다.

 

 

이때 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 모든 성분이 정수인 정사각행렬 A가 다음 조건을 만족하면 A = I임을 보여라.

⑴ 홀수인 소수 p에 대하여 행렬 A - I의 모든 성분은 p의 배수이다.

⑵ A^k = I인 양의 정수 k가 존재한다.

(단, I는 단위행렬이다.)

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 실수열 X = { x_i } ( 1 ≤ i ≤ n )에 대하여, m_k(X)를 다음과 같이 정의한다.

 

 

만약 m₁(X) = 0이면, 다음 부등식이 항상 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 두 번 미분가능한 함수 f : ℝ → ℝ가 f(0) = 0이고 다음 조건을 만족할 때, f(1) = 0임을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.09.06 10:44