【대수경】 제 30회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 30회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음 

---

 

제 30회 전국 대학생 수학 경시대회

제 1 분야

2011년 11월 12일 (10:00 - 13:00)

 

1. 함수 f(x)가 다음과 같이 적분으로 정의되어 있다. 

 

 

이때, f '(0)을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 모든 성분 a_ij가 양의 실수인 n × n 행렬 A = (a_ij)가 임의의 1 ≤ j ≤ n에 대하여 a_1j + a_2j + … + a_nj = 1을 만족한다. 이때, 방정식 det(A - xI) = 1의 근의 절댓값은 모두 1 이하임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 다음 정적분의 값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 임의의 양의 정수 n에 대해, 집합 { (x, y) ∈ ℤ | x² + 3y² = n }의 원소의 개수를 A(n)이라 하자. 집합 { (x, y) ∈ ℤ | x² + 3(4y² - 3y) = n }의 원소의 개수는 0.5 A(16n + 27)임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 두 번 미분 가능한 함수 f : R → R는 f(0) = 0을 만족한다. 이때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 주어진 n × n 행렬 A = (a_ij)가 1 ≤ i, j ≤ n에 대하여 다음을 만족한다.

 

 

이 행렬 A의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 D가 있다.

⑴ 다음 이중적분의 값을 구하여라.

 

 

⑵ 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 a₁, …, a_n인 n 개의 직사각형 종잇조각들이 주어져 있다. 만약 a₁ + … + a_n < 2이면, 이 종이들로 원판 D를 덮을 수 없음을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.09.11 18:59