【대수경】 제 30회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 30회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 30회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 2 분야

 

2011년 11월 12일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 함수 f(x) = 1 / (x - x^3/5)에 대하여, 다음 정적분의 값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 임의의 n × n 행렬 A에 대하여, 다음을 보여라. (단, A의 모든 성분은 실수이다.)

 

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 함수 f(x) = e^cos(x2)에 대하여, d⁸f / dx⁸ (0)을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 수열 { y_n }은 y₁ = 1, y₂ = 3이고, 임의의 양의 정수 n에 대하여

 

 

을 만족한다. 이 수열의 모든 항은 양의 정수임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 함수 f(x)가 3차 다항식이라고 할 때, 다음을 증명하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 주어진 n × n 행렬 A = (a_ij)가 1 ≤ i, j ≤ n에 대하여 다음을 만족한다.

 

 

이 행렬 A의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 임의의 연속함수 f : [0, 1] → [0, ∞)에 대하여 I(f)를 다음과 같이 정의한다. 

 

 

이때, I(f)가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 D가 있다.

⑴ 다음 이중적분의 값을 구하여라.

 

 

⑵ 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 a₁, …, a_n인 n 개의 직사각형 종잇조각들이 주어져 있다. 만약 a₁ + … + a_n < 2이면, 이 종이들로 원판 D를 덮을 수 없음을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.09.20 21:10