【대수경】 제 29회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 29회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 29회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2010년 10월 2일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 연속함수 f가 f(x) + f(x + 1) + … + f(x + 2009) = x²⁰⁰⁹을 만족할 때, 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 행렬 A의 최소다항식을 구하고, B² = A인 행렬 B가 존재하지 않음을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

3. f(x) = x^m + a_m-1x^m-1 + a_m-2x^m-2 + … + a₁x + a₀가 xⁿ-1을 나누고, 

 

 

일 때,

 

 

임을 보여라. (단, 행렬 E는 m차 단위행렬이다.)

 

 

Solution. 

 

 

 

4. p가 소수이고 p - 1은 7의 배수가 아닐 때, n⁷ - 2010이 p의 배수가 되는 자연수 n이 무수히 많음을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 적분 

 

 

가 수렴하는 실수 α의 값을 모두 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 함수 f : ℝ → ℝ의 도함수 f '이 ℝ에서 연속이다. x ≠ y일 때, g(x, y) = ( f(x) - f(y) ) / (x - y)라 하면, g가 ℝ²에서 연속이 되도록 g(x, x)를 정의할 수 있음을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 다음 식을 만족하는 두 양수 a와 r을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.09.28 21:02