【대수경】 제 28회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 28회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 28회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2009년 10월 10일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 다음 세 조건을 모두 만족시키는 함수 f : ℝ → ℝ을 모두 구하여라.

 

ⅰ. 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0,

ⅱ. f '(x) - 6f(x)f '(x) - f '''(x) = 0,

 

ⅲ. lim_x→∞ f(x) = lim_x→∞ f '(x) = lim_x→∞ f ''(x) = 0

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 모든 성분이 실수인 n × 1 열벡터 x, y는 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

 

ⅰ. x ≠ 0이고 y ≠ 0이다.

ⅱ. A = xy^T는 대칭행렬이다.

 

이때, A = uu^T 또는 A = -uu^T을 만족시키는 모든 성분이 실수인 n × 1 열벡터 u가 존재함을 보여라. (단, y^T는 y의 전치(transpose)이다.)

 

 

Solution. 

 

 

 

5. p는 5보다 크거나 같은 소수이다. 다음 식의 값을 기약분수로 나타냈을 때, 분자가 p⁴의 배수임을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 0 ≤ x ≤ 2에서 f "(x) ≥ 0이면 다음을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 실수 a와 실수의 두 부분집합 A, B에 대하여

 

aA = { ax | x ∈ A }, A + B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }

 

라 하고, 양의 정수 n에 대하여

 

 

라고 하자. 이때 집합 G는 비가산(uncountable) 집합임을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.10.09 10:53