【대수경】 제 28회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 #01

제 28회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야 #01

 

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제 28회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 2 분야

 

2009년 10월 10일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. -1 ≤ x ≤ 1일 때, 곡선 y = 0.5x²의 길이를 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 평면에서 x^2/3 + y^2/3 = 1로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 행렬 A에 대하여 A²⁰⁰⁹의 모든 성분의 합을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

4. 모든 성분이 실수인 n × 1 열벡터 x, y는 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

 

ⅰ. x ≠ 0이고 y ≠ 0이다.

ⅱ. A = xy^T는 대칭행렬이다.

 

이때, A = uu^T 또는 A = -uu^T을 만족시키는 모든 성분이 실수인 n × 1 열벡터 u가 존재함을 보여라. (단, y^T는 y의 전치(transpose)이다.)

 

 

Solution. 

 

 

 

5. 다음 세 조건을 모두 만족시키는 함수 f : ℝ → ℝ을 모두 구하여라.

 

ⅰ. 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0,

ⅱ. f '(x) - 6f(x)f '(x) - f '''(x) = 0,

ⅲ. lim_x→∞ f(x) = lim_x→∞ f '(x) = lim_x→∞ f ''(x) = 0

 

 

Solution. 

 

 

 

6. 다음 적분값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

7. 모든 양의 정수 n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

8. 적분 가능한 함수 f : [-π, π] → ℝ가 다음을 만족시킨다. 

 

 

음이 아닌 정수 k에 대하여 다음을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.10.09 16:13