【대수경】 제 27회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 27회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

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제 27회 전국 대학생 수학 경시대회

 

제 1 분야

 

2008년 11월 15일 (10:00 - 13:00)

 

 

1-1. 꼭짓점의 좌표가 (0, 1, 0), (1, 2, 1), (1, 3, 3), (3, 2, 1)인 사면체의 부피를 구하여라.

 

 

Solution. 

① 벡터 x = (1, 2, 1) - (0, 1, 0) = (1, 1, 1), 

② 벡터 y = (1, 3, 3) - (0, 1, 0) = (1, 2, 3), 

③ 벡터 z = (3, 2, 1) - (0, 1, 0) = (3, 1, 1).

 

 

 

1-2. 0 < a, b, c, d < 1일 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution.

 

 

 

1-3. 다음 적분을 계산하여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

1-4. α > 1일 때, 다음 적분 값이 존재함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

 

1-5. 다음 값을 구하여라.

 

 

 

Solution. 

우선 θ = π / 5에 대하여, 다음을 보이자.

 

 

⑴ sin 3θ = sin (3π / 5) = 3 sin θ - 4 sin³ θ 

⑵ sin 2θ = sin (2π / 5) = 2 sin θ cos θ

⑶ sin 3θ = sin(π - 3θ) = sin 2θ이므로, 

 

 

따라서 (준식)은 다음과 같다.

 

 

 

2-1. 모든 성분이 양수인 3 × 3 행렬 A의 역행렬 A^-1이 존재한다. A^-1의 성분 중에서 양수인 성분이 6개일 때, A^-1의 성분 중에서 음수인 성분은 3개임을 보여라.

 

 

Solution. 

우선 A^-1의 세 열벡터 중 하나가 모두 양수인 성분으로 이루어졌다고 생각하자.

이때 그 열벡터와 A의 세 행벡터 중 하나의 내적이 단위행렬 I의 대각선 성분(=1)이 된다.

따라서 나머지 두 행벡터의 내적은 0이 되는데 성분이 모두 양수이므로 이는 모순이다.

따라서 A^-1의 세 열벡터는 모두 하나 이상의 양수가 아닌 성분으로 이루어져 있다.

A^-1의 성분 중에서 양수인 성분이 6개이므로 세 열벡터는 그러한 값을 단 1개씩 갖는다.

그런데 A^-1의 세 열벡터 중 하나가 2개의 양수와 0으로 이루어져 있는 경우를 생각해 보자.

위와 같이 A의 세 행벡터 중 하나의 내적이 단위행렬 I의 대각선 성분(=1)이 된다.

따라서 나머지 두 행벡터의 내적은 0이 되는데 그 내적 값이 양수이므로 이는 모순이다.

따라서 A^-1의 세 열벡터는 모두 2개의 양수인 성분과 1개의 음수인 성분을 갖는다.

 

 

2-2. 폐구간 [0, 1]에서 정의된 함수열 ϕ_n이 다음을 만족시킨다.

 

 

폐구간 [0, 1]에서 함수열 lim ϕ_n = ϕ이고 ϕ는 미분가능한 함수일 때, 함수 ϕ(t)를 구하여라.

 

 

Solution. 

 

 

인 { a_n(t) } _n≥0을 정의하자. (단, a_n(t)는 n차 다항식이다.)  이때 다음을 얻는다.

 

 

추가로 다음을 확인하자.

 

 

따라서 다음을 귀납적으로 보일 수 있다.

 

 

그런데, 

 

 

이므로, 

 

 

임을 얻는다.

 

 

2-3. 모든 n = 0, 1, 2, 3, …에 대해서 a_n은 0 또는 1이고, P와 Q는 다항식으로서 P의 차수가 Q의 차수보다 낮으며 | x | < 1인 영역에서 다음이 성립한다.

 

 

이때, 적당한 자연수 p가 존재하여 모든 n ≥ 0에 대해서 a_n+p = a_n이 성립함을 보여라.

 

 

Solution. 

Q(x) = q₀ + q₁x + ··· + q_nxⁿ, P(x) = p₀ + p₁x + ··· + p_mx^m라고 두자.

또한, v = (q_n, q_n-1, ···, q₀), w_t = (a_t-m-1, ···, a_t)라고 하자. (단, a_(-m-1) = ··· = a_(-1) = 0)

 

 

Q(x)와 P(x), 그리고 a₀, ···, a_m을 알고 있고, a_m+1을 구하는 경우를 생각하자.

이때 a_m+1의 존재성은 명백하므로 일차방정식 v·w_m+1 = 0에서 a_m+1의 해를 결정 가능.

이러한 논의를 계속하면 {a_k} _k≥0가 유일하게 결정된다.

그런데 w_t의 n+1개의 원소는 0 또는 1이므로 기껏해야 2ⁿ⁺¹ 가지밖에 없다.

따라서 w₀ = w_N인 N > m이 존재한다.

w_k' = w_k+N, k ≥ 0일 때 위의 논의를 그대로 적용하면 {a_k} _k≥0 = {a_k'} _k≥0 = {a_k} _k≥N이다.

 

 

2-4. p_i, q_i > 0이고 p₁ + … + p_n = q₁ + … + q_n = 1일 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

p_i ≥ 0, q_i > 0이고 p₁ + ··· + p_n = q₁ + ··· + q_n = 1일 때 주어진 부등식이 성립함을 보이면 충분하다. 단, 

 

 

이므로 

 

 

으로 정의하자. 또한 다음과 같이 추가로 정의하자.

 

 

이제 닫힌집합이고 유계인 D := { (p₁, ..., p_n) | g(p₁, ..., p_n) = 1, p_i ≥ 0 }을 생각하자.

f가 연속이므로 f |_D는 최댓값과 최솟값을 갖는다. (∵ 최대·최소 정리)

f |_D의 최솟값은 D 상의 극값이거나 D의 경계 (⇔ p_i = 0인 i가 존재)의 함숫값이다.

 

⑴ D 상의 극값 : 라그랑주 승수법을 쓰자. 

D_if = lnp_i - lnq_i + 1 - (p_i - q_i) = λD_ig = λ인 λ ∈ ℝ가 존재한다. (∵ ∇g ≠ O) 

그런데 어떤 i₁ ∈ {1, ..., n}에 대해 p_i1 > q_i1라면 p_i2 < q_i2인 i₂ ∈ {1, ..., n}가 존재한다.

λ - 1 = lnp_i1 - lnq_i1 - (p_i1 - q_i1) = (p_i1 - q_i1)(1/c - 1) ＞ 0 (단, p_i1 ＞ c ＞ q_i1)

λ - 1 = lnp_i2 - lnq_i2 - (q_i2 - p_i2) = (q_i2 - p_i2)(1 - 1/c') ＜ 0 (단, p_i2 ＜ c ＜ q_i2)

따라서 모순 ⇔ 극값이 되는 { p_i }는 ^∀i ∈ {1, ..., n}에 대해 p_i = q_i가 성립.

 

 

이므로 임의의 방향벡터 v에 대해 D_v²f ＞ 0이다.

따라서 이 경우 함숫값 f(p₁, ..., p_n) = 0은 극솟값이다.

 

⑵ D의 경계 (⇔ p_i = 0인 i가 존재)

위의 논의를 적용하자.

D의 내부에 있는 모든 점의 경우 f '' ＞ 0이므로 아래로 볼록이다.

즉, λ₁ + λ₂ = 1, λ₁, λ₂ ≥ 0과 임의의 두 점 P₁, P₂ ∈ (D의 내부)에 대해

f(λ₁P₁ + λ₂P₂) ≤ λ₁f(P₁) + λ₂f(P₂) (※)가 성립한다. (∵ g(t) = P₁ + t(P₂ - P₁)을 고려)

f(p₁, ..., p_n)은 D 상에서 연속이므로 (※)가 D 전체의 점에서도 성립한다.

경계상의 점 P*에 대해, 함숫값 f(P*)이 최솟값이 된다고 가정하자.

그러면

 

 

이므로 (q₁, ..., q_n) 외에 극점이 더 존재하고 이는 ⑴의 결론과 모순된다.

따라서 그러한 점 P*가 존재하지 않는다.

그러므로 f(p₁, ..., p_n) ≥ f(q₁, ..., q_n) = 0 ⇔ 주어진 부등식은 참이다. 

 

 

2-5. 수열 { x_n }이 다음 조건

 

x_m > 0, x_m+n ≤ x_m + x_n, m,n = 1, 2, 3, …

 

을 만족할 때, 수열 { x_n/n }이 수렴함을 보여라.

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2015.10.18 19:56