【통계학】 통계학 기초 문제 [41-55]

통계학 기초 문제 [41-55]

 

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문제 41. 게임자가 두 개의 동전을 던질 때, 앞면이 2번 나오면 5파운드를 얻고, 한 번만 앞면이 나오면 2파운드를 얻으며 앞면이 전혀 나오지 않으면 1파운드를 얻는다. 기댓값을 구하여라. 

 

최종적으로 얻게 될 금액에 대한 확률변수를 X라 하자.

P(X = 5) = 1/4

P(X = 2) = 1/2

P(X = 1) = 1/4

E[X] = 5 · 1/4 + 2 · 1/2 + 1 · 1/4 = 5/2

 

 

문제 42. 한 동전을 세 번 던질 때, 첫 번째에서 앞면이 나오면 X는 0이고, 뒷면이 나오면 1이라 하며, Y는 나타나는 앞면의 수라고 할 때, X와 Y의 분포, X와 Y의 결합분포, Cov(X, Y)를 구하여라. 

 

P(X = 0) = 1/2

P(X = 1) = 1/2

P(Y = 0) = 1/8

P(Y = 1) = 3/8

P(Y = 2) = 3/8

P(Y = 3) = 1/8

X와 Y의 결합확률분포는 다음 표를 통해 나타낼 수 있다. 

 

X \ Y	0	1	2	3
0	1/8	2/8	1/8	0
1	0	1/8	2/8	1/8

E[X] = 1/2

E[Y] = 3/2 

E[XY] = 1 · 1/8 + 2 · 2/8 + 3 · 1/8 = 1 

∴ Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]·E[Y] = 1 - 3/4 = 1/4 

 

 

문제 43. 연속확률변수 X가 다음과 같을 때, E[-X - 1], V[-X - 1]을 구하여라. 

 

 

E[X] = ∫_{0 to ∞} 2xe^-2x dx = 1/2 

E[X²] = ∫_{0 to ∞} 2x²e^-2x dx = 1/2 

E[-X - 1] = -E[X] - 1 = -3/2

V[-X - 1] = V[X] = E[X²] - (E[X])² = 1/2 - 1/4 = 1/4 

 

 

문제 44. 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는? 

 

₃P₃ = 3! = 6

 

 

문제 45. 4명 중 반장, 부반장을 뽑는 경우의 수는? 

 

₄P₂ = 4 × 3 = 12

 

 

문제 46. 1, 2, 3, 4, 5의 숫자가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드 중에서 서로 다른 3장을 뽑아 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수는? 

 

₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60 

 

 

문제 47. 다음 그림과 같이 3장의 글자 카드가 있다. 이 중에서 서로 다른 2장의 카드를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는? 

 

 

₃P₂ = 3 × 2 = 6

 

 

문제 48. 다음 그림은 어느 하계 올림픽 경기 종목 중 4개의 종목을 나타낸 것이다. 이 4개의 종목에서 서로 다른 2개의 종목을 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는? 

 

 

₄P₂ = 4 × 3 = 12 

 

 

문제 49. 그림과 같이 3곳을 모두 여행하는 계획을 세우려고 한다. 여행 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 한 번 여행한 곳은 다시 여행하지 않는다.)

 

 

₃P₃ = 3! = 6

 

 

문제 50. 대한민국, 독일, 미국, 영국, 일본, 중국, 프랑스, 호주 8개의 국가대표 농구 팀이 농구 경기를 하려고 한다. 1) 8팀 중 4팀을 고르는 경우의 수는? 2) 각 조당 4팀씩 A조와 B조로 나누는 경우의 수는? 3) 유럽 팀에서 1팀, 비유럽 팀에서 3팀을 고르는 경우의 수는? (단, 독일, 영국, 프랑스가 유럽 팀이다.)

 

8팀 중 4팀을 고르는 경우의 수 = ₈C₄ = 70 

각 조당 4팀씩 A조와 B조로 나누는 경우의 수 (두 조가 구별되는 경우) = ₈C₄ = 70

각 조당 4팀씩 A조와 B조로 나누는 경우의 수 (두 조가 구별되지 않는 경우) = 70/2 = 35 

유럽 팀에서 1팀, 비유럽 팀에서 3팀을 고르는 경우의 수 = ₃C₁ × ₅C₃ = 30 

 

 

문제 51. 서로 다른 9개의 과자 중에서 6개를 고르는 방법의 수는? 

 

₉C₆ = ₉C₃ = 84 

 

 

문제 52. 4명 중에 봉사자 2명을 뽑는 경우의 수는? 

 

₄C₂ = 6 

 

 

문제 53. 그림과 같이 4개의 민속놀이가 있다. 이 중에서 서로 다른 2개의 민속놀이를 선택하는 경우의 수는? 

 

 

₄C₂ = 6

 

 

문제 54. 그림과 같이 5개의 정다면체가 있다. 이 5개의 정다면체에서 서로 다른 2개의 정다면체를 선택하는 경우의 수는?

 

 

₅C₂ = 10 

 

 

문제 55. 그림과 같이 4종류의 꽃이 있다. 이 중에서 서로 다른 3종류의 꽃을 선택하는 경우의 수는? 

 

 

₄C₃ = 4

 

입력: 2024.12.25 10:37