【통계학】 통계학 기초 문제 [61-80]

통계학 기초 문제 [61-80]

 

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문제 61. 한 회사는 120의 자금을 마련하여, 다음 1년 동안 높은 성과를 달성한 직원들에게 일정 금액 C를 지급하고자 한다. 이 회사에는 총 20명의 직원이 있으며, 각 직원이 높은 성과를 달성할 확률은 2%이다. 또한, 직원들 각각의 높은 성과 달성 여부는 서로 독립적인 사건이다. 자금이 모든 높은 성과를 달성한 직원들에게 지급하기에 부족할 확률이 1% 미만이 되도록 하기 위해, C의 최댓값을 계산하시오. 

 

P(X = k) = ₂₀C_k·0.02^k·0.98^20-k 

0.01 > P(kC > 120) = P(k > 120 / C) = P(k > 2) (∵ 일일히 계산)

∴ 2 ≤ 120 / C < 3 ⇔ 60 ≥ C > 40

∴ 60 

 

 

문제 62. 한 회사는 제조 공장에서 발생하는 사고를 보장하는 보험에 가입했다. 매월 한 건 이상의 사고가 발생할 확률은 0.60이며, 각 월별 사고 발생 여부는 서로 독립적이다. 4번째 사고가 발생하기 전에 사고가 전혀 발생하지 않은 달이 최소 4번 이상 존재할 확률을 구하시오. 

 

사고확률 p = 0.6, 무사고확률 q = 0.4라 하면, 4번째 사고가 나올 때까지의 무사고 횟수 Y가 음이항분포를 따른다.

P(Y = k) = _k+4-1C_4-1·p⁴·q^k = _k+3C₃·(0.6)⁴·(0.4)^k 

∴ P(Y ≥ 4) = 1 - P(Y ≤ 3) = 1 - ∑_{(k=0 to 3) k+3}C₃·(0.6)⁴(0.4)^k = 0.2898 

 

 

문제 63. 축구동아리 SNUnited는 일요일 아침마다 두 팀으로 나눠 연습경기를 한다. n명이 일요일 축구모임에 참석하면 일단 무작위로 두 팀에게 똑같이 n/2명을 배정한다고 하자. 편의상 n은 짝수라고 하자. 그런 후 4차례에 걸쳐 각 팀에서 무작위로 한 명씩 뽑아 선수를 교환하여 각 팀의 최종멤버를 결정한다고 하자. 4차례에 걸친 선수교환이 이루어지기 전과 후 두 팀의 선수구성에 변화가 없을 확률을 구하시오. 

 

4차례에 걸친 선수교환에 관한 전체 경우의 수는 (n/2)⁸이다. 

 

경우 1. 4 vs 4 

○ 왼쪽에서 한 좌석 L_i만 4번 뽑힘 : (n/2)가지 

○ 오른쪽에서 한 좌석 R_j만 4번 뽑힘 : (n/2)가지 

○ 4라운드 모두 (L_i, R_j) 고정으로 뽑히므로 라운드 배치 방법은 1가지 

○ 합계 : (n/2)² 

경우 2. 4 vs 2+2 

○ 왼쪽에서 4번 뽑힐 좌석 선택 : (n/2)가지

○ 오른쪽에서 서로 다른 두 좌석 R_j1, R_j2을 각 2번씩 선택 : _(n/2)C₂가지 

○ 그 두 좌석 중 어떤 것이 라운드 1, 2, 3, 4 중 어느 두 회차에 뽑히는 고르는 배열 : ₄C₂ = 6가지 

○ 예를 들어, 팀 A에서 a와 팀 B에서 b1을 고르고, 그 다음 팀 B에서 b1과 b2를 고르고, 다시 b2와 b1을 고르고, 마지막으로 a와 b1을 고르는 식으로 하는 경우가 경우 2에 해당함 

○ 합계 : (n/2) × _(n/2)C₂ × 6 

경우 3. 2+2 vs 4 

○ 경우 2의 대칭 상황이므로 (n/2) × _(n/2)C₂ × 6 

경우 4. 2+2 vs 2+2 

○ 왼쪽에서 두 좌석 간 2번 뽑힘 선정 : _(n/2)C₂가지 

○ 오른쪽에서 동일 : _(n/2)C₂가지 

○ 왼쪽 두 좌석 뽑히는 라운드 배열 6가지, 오른쪽 두 좌석도 배열 6가지 

○ 전체 라운드 매칭은 라운드 번호 1, 2, 3, 4가 똑같이 동작하므로 6 × 6 = 36가지 

○ 합계 : _(n/2)C₂·_(n/2)C₂·36 

 

따라서 4차례 교환 후 팀 구성이 변화 없을 전체 경우의 수는 (n² / 4)·(3n²/2 - 2)² 이다. 

그러므로 4차례 교환 후 팀 구성이 변화 없을 확률은 16(3n² - 4)² / n⁶이다. 

 

 

문제 64. 한 도시에서 일어난 강도 사건의 범인이 남긴 혈흔을 분석한 결과 범인의 DNA에 대한 일부 증거를 확보할 수 있게 되었다고 하자. 일단 담당 형사는 이 도시에 거주하는 100만 명 중 한 명이 범인이라는 점은 확실하다고 판단하고 있다. 이 도시에서 거주하고 있는 시민 중 10,000명은 범죄경력이 있는 전과자이며 나머지 990,000명은 전과경력이 전혀 없는 사람들이라고 한다. 범죄경력이 있는 시민이라면 그 시민이 범인일 확률이 α, 전과경력이 없는 시민이라면 그 시민이 범인일 확률이 β라고 담당 형사는 생각하고 있다. (이 때 담당형사는 α가 β보다 k(> 1)배 만큼 크다고 여기고 있다.) 만일 어떤 시민이 범인이라면 그의 DNA가 사건 현장에서 확보한 DNA와 일치하는 것으로 나타날 확률이 1이며 범인이 아닌 사람의 DNA가 범인의 것과 일치하는 것으로 나올 확률이 10^-5라고 하자. 이미 DNA 정보를 확보하고 있는 전과자 10,000명의 DNA 정보를 검토해 본 결과 유일하게 J 한 사람만이 범인의 것과 DNA가 일치하는 것으로 나타났다. 여러분이 담당형사라면 이 정보들로부터 J가 이 강도 사건의 실제 범인일 확률이 얼마라고 생각하겠는가? 그 확률을 k만의 함수로 나타내시오.

 

P(경력) = 0.01, P(~경력) = 0.99 

P(범인 | 경력) = α, P(범인 | ~경력) = β = α / k

P(범인) = 1 / 100만 = P(경력) × P(범인 | 경력) + P(~경력) × P(범인 | ~경력) = 0.01α + 0.99α / k

∴ α = k / (10000k + 990,000) 

P(일치) = P(경력) × P(범인 | 경력) × P(일치 | 범인) + P(경력) × P(~범인 | 경력) × P(일치 | ~범인)

P(일치) + P(~경력) × P(범인 | ~경력) × P(일치 | 범인) + P(~경력) × P(~범인 | ~경력) × P(일치 | ~범인)

P(일치) = 0.01α + 0.01(1-α)10^-5 + 0.99(α / k) + 0.99(1 - α / k)10^-5 

∴ P(범인 | 일치) = ( 0.01α + 0.99(α / k) ) / ( 0.01α + 0.01(1-α)10^-5 + 0.99(α / k) + 0.99(1 - α / k)10^-5 )

 

만약 k ≫ 1이면, P(범인 | 일치) = 0.01α / (0.01α + 0.01(1-α)10^-5 + 0.99 × 10^-5) ≈ 1 

만약 k = 1이면, P(범인 | 일치) = α / (α + (1-α) × 10^-5) ≈ 1 / 11 

 

 

문제 65. 길이가 l km인 해변에 아이스크림 가게를 오픈하려고 한다. 아이스크림 가게의 위치는 일단 왼쪽 끝지점부터 오른쪽 끝지점 중 무작위 추첨으로 한 곳을 선택한 후 다시 왼쪽 끝지점부터 이 지점까지 중 무작위 추첨으로 한 곳을 선택한다고 한다. 최종적으로 선택된 지점이 왼쪽 끝지점부터 떨어져 있는 거리를 X라고 하자. 확률변수 X의 밀도를 구하시오. 

 

처음 선택한 지점이 왼쪽 끝지점부터 떨어져 있는 거리를 U(u), 두 번째 선택한 지점이 왼쪽 끝지점부터 떨어져 있는 거리를 V(v)라고 하자.

 

 

f_U(u) = 1/l

f(u, v) = f(u)·f(v | u) = 1 / ul

f_V(x) = f_X(x) = ∫_{(u = x to l)} (1 / ul) du = ln (l / x) / l 

 

 

문제 66. 두산 베어스는 매 경기마다 관객 전원에게 두산 출신 전설적인 야구 선수 6명의 피규어를 무작위로 하나씩 제공하는 행사를 진행하기로 했다. 이 소식을 듣자마자, 야구광이자 두산의 열혈팬인 용준은 6명의 피규어를 전부 수집하기로 마음먹었다. 용준이 6명의 피규어를 전부 수집할 때까지 관람하게 될 총 경기 수를 X라고 하자. 단, 피규어를 구할 수 있는 유일한 방법은 두산 경기를 관람하는 것뿐이라고 가정한다. X의 기댓값 E[X]를 구하시오.

 

문제 60을 참고하자.

E[X] = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 2.45 

 

 

문제 67. X₁, X₂, ···, X_n는 i.i.d인 확률변수이며 E[X_i] = μ이고 Var(X_i) = σ²이라고 하자. 그리고 X̄ = (1/n) ∑_{(i=1 to n)} X_i라고 할 때 Cov(X_i - X̄, X̄)를 구하시오.

 

답은 0.

 

 

문제 68. 학교 셔틀버스 승강장에 시각 t ≥ 0까지 도착하는 학생들의 수는 λ·t를 파라미터로 하는 푸아송분포를 따른다고 하자. 그리고 첫 셔틀버스가 승강장에 도착하는 시각은 (0, T) 구간에서 균일분포를 따른다고 하자. 이 첫 셔틀버스에 탑승하는 학생의 수를 확률변수 X라고 할 때, 확률변수 X의 평균과 분산을 구하시오. 단, 학생들이 도착하는 시각과 첫 셔틀버스가 도착하는 시각은 독립적이라고 하자. 

 

전확률의 법칙 : E[X] = E[E[X | t]] = E[λ·t] = λT / 2

전분산의 법칙 : Var(X) = E[Var(X | t)] + Var(E[X | t]) = E[λt] + Var(λt) = λT / 2 + λ²T² / 12

 

 

문제 69. 관악 스포츠 센터에서는 매달 한 번씩 회원들의 운동화를 세탁해주는 서비스를 제공하고 있다. 그런데 이번 달에는 담당 직원의 부주의로 각 운동화의 주인에 대한 별도 표시 없이 세탁한 후 무작위로 회원들의 보관함에 돌려놓고 말았다. 이번 달에 이 세탁 서비스를 받은 전체 회원수는 n명이라고 하자. 자신의 운동화를 제대로 돌려받은 회원수를 확률변수 X라고 할 때, X의 분산 Var(X)을 구하시오. 

 

X_i를 i번째 회원이 자신의 운동화를 제대로 돌려받은 경우 1, 그렇지 않은 경우 0이 되는 indicator 확률변수라고 하자.

X = X₁ + ··· + X_n 

E[X_i] = (n-1)! / n! = 1 / n

E[X] = E[X₁] + ··· + E[X_n] = (1/n)·n = 1

E[X_i²] = 1 / n

E[X_iX_j] (단, i ≠ j) = (n-2)! / n! = 1 / (n² - n)

Var(X_i) = E[X_i²] - (E[X_i])² = 1 / n - 1 / n² = (n-1) / n²

Cov(X_i, X_j) = E[X_iX_j] - E[X_i]E[X_j] = 1 / (n² - n) - 1 / n² = 1 / (n²(n-1))

Var(X) = n·Var(X_i) + 2∑_i<j E[X_iX_j] = (n-1) / n + 2·_nC₂ / (n²(n-1)) = (n-1) / n + 1 / n = 1

 

 

문제 70. 확률변수 X와 Y는 독립이며 각각 표준정규분포를 따른다고 하자. 이제 새로운 확률변수 Z가 다음과 같이 정의된다고 하자.

 

 

확률변수 Z 역시 표준정규분포를 따른다는 사실을 보이시오. 단, 표준정규분포의 밀도를 전혀 이용하지 말고 표준정규분포의 특징과 그 외 이 문제에서 주어진 가정만으로 이 사실을 증명하시오. 

 

P(X > 0) = P(X < 0) = 1/2, P(Y > 0) = P(Y < 0) = 1/2가 성립한다.

특정 x 값에 대하여 XY > 0일 확률과  XY < 0일 확률이 1/2이므로 Z = x 및 Z = -x에 각각 1/2씩 할당된다.

그리고 특정 -x 값에 대하여 비슷하게 Z = x 및 Z = -x에 각각 1/2씩 할당된다.

따라서 P(Z = x) = P(X = x)이므로 Z는 X와 같은 확률밀도함수를 가진다. 

 

 

문제 71. (St. Petersburg paradox) 공정한 동전을 던지다가 처음으로 앞면이 나오는 순간 게임이 종료된다고 하자. 만약 처음으로 앞면이 나온 것이 n번째 던지기라면, 당신은 $2ⁿ을 얻게 된다. 확률변수 X를 당신이 얻게 되는 금액이라고 하면, P(X = 2ⁿ) = 1/2ⁿ이 된다. 이제 기대값 E[X]를 계산하라. 

 

E[X]는 무한대이다.

 

 

기대값이 무한대라는 것은 맞지만, 현실적인 의사 결정에서는 그대로 적용하기 어렵다는 것이 핵심 문제이다.

 

입력: 2025.02.17 22:13