【통계학】 통계학 기초 문제 [21-40]

통계학 기초 문제 [21-40]

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차 

---

 

문제 21. 연속확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, c, X와 Y의 주변확률분포, E[X], E[Y], V[X]를 구하여라. 

 

 

1 = ∫_{0 to 2} ∫_{x to 2} cxy dydx = 2c ⇔ c = 0.5 

E[X] = ∫_{0 to 2} ∫_{x to 2} 0.5x²y dydx = 16/15

E[Y] = ∫_{0 to 2} ∫_{x to 2} 0.5xy² dydx = 8/5

E[X²] = ∫_{0 to 2} ∫_{x to 2} 0.5x³y dydx = 4/3 

∴ V[X] = E[X²] - (E[X])² = 4/3 - (16/15)² = 44/225 

 

 

문제 22. 연속확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 아래와 같을 때, E[X], E[XY], Cov[2X, 3X], E[Y | X = 1/2]를 구하여라. 

 

 

E[X] = ∫_{0 to 1} ∫_{0 to 1} (x² + xy) dydx = 7/12 

E[Y] = E[X] = 7/12

E[XY] = ∫_{0 to 1} ∫_{0 to 1} (x²y + xy²) dydx = 1/3 

E[X²] = ∫_{0 to 1} ∫_{0 to 1} (x³ + x²y) dydx = 5/12 

Cov[2X, 3X] = 6V[X] = 6(E[X²] - (E[X])²) = 6(5/12 - 49/144) = 11/24

E[Y | X = 1/2] = ∫_{0 to 1} y·(1/2 + y) dy / ∫_{0 to 1} (1/2 + y) dy = 7/12

 

 

문제 23. 이산확률변수 X와 Y의 결합확률질량함수(p.m.f)가 다음과 같을 때, c, P(X > Y), σ_X, Cov[X, Y]를 구하여라.

 

 

1 = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2) + f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) ⇔ c = 1/25 

P(X > Y) = f(1,0) + f(2,0) + f(2,1) = (1+4+5) / 25 = 2/5 

E[X] = 1 × (f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)) + 2 × (f(2,0) + f(2,1) + f(2,2)) = 42/25 

E[X²] = 1 × (f(1,0) + f(1,1) + f(1,2)) + 4 × (f(2,0) + f(2,1) + f(2,2)) = 76/25 

σ_X = √( E[X²] - (E[X])² ) = √( 76/25 - (42/25)² ) = 0.4664762 

E[Y] = 1 × (f(1,1) + f(2,1)) + 2 × (f(1,2) + f(2,2)) = 33/25 

E[XY] = 1 × f(1,1) + 2 × f(1,2) + 2 × f(2,1) + 4 × f(2,2) = 54/25

Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]·E[Y] = -0.0576 

 

 

문제 24. (X, Y)의 결합밀도함수가 다음과 같을 때, c와 E(X | y = 2)를 구하여라. 

 

 

1 = ∫_{0 to 1} ∫_{0 to ∞} ce^-y dydx = c

E(X | y = 2) = ∫_{0 to 1} xe^-2 dx / ∫_{0 to 1} e^-2 dx = 1/2 

 

 

문제 25. (X, Y)의 결합밀도함수가 다음과 같을 때, 상관계수를 구하여라.

 

 

E[X] = ∫_{0 to ∞} ∫_{x to ∞} xe^-y dydx = 1 

E[X²] = ∫_{0 to ∞} ∫_{x to ∞} x²e^-y dydx = 2 

E[Y] = ∫_{0 to ∞} ∫_{x to ∞} ye^-y dydx = 2

E[Y²] = ∫_{0 to ∞} ∫_{x to ∞} y²e^-y dydx = 6 

∴ V[X] = E[X²] - (E[X])² = 1

∴ V[Y] = E[Y²] - (E[Y])² = 2 

E[XY] = ∫_{0 to ∞} ∫_{x to ∞} xye^-y dydx = 3

∴ COV[X, Y] = E[XY] - E[X]·E[Y] = 1 

∴ Corr[X, Y] = COV[X, Y] / (σ_X · σ_Y) = 1 / √2

 

 

문제 26. 확률변수 X와 Y는 독립이고, X ~ N(5, 2²), Y ~ B(10, 1/2)일 때, P(5 < X < 10), E[XY - 2X - 1], V[X - Y - 1]을 구하여라.

 

N은 정규분포이고, B는 이항분포를 나타냄을 유의하자.

X와 Y는 독립이다. 

P(5 < X < 10) = P(0 < Z < 2.5) = 0.4937903 

E[XY - 2X - 1] = E[X]E[Y] - 2E[X] - 1 = 5 × (10 × 1/2) - 2 × 5 - 1 = 25 - 11 = 14 

V[X - Y - 1] = V[X] + V[Y] = 4 + 10 × 1/2 × (1 - 1/2) = 4 + 2.5 = 6.5 

 

 

문제 27. 다섯 장의 카드에 각각 1, 1, 2, 2 그리고 3을 적어 한 상자에 넣은 후 무작위로 2장을 선택한다. X는 2장의 합이고, Y는 두 수 중 최대 수일 때, X와 Y의 결합분포, Cov(X, Y), ρ(X, Y)를 구하여라. 

 

1번째 \ 2번째	1	1	2	2	3
1	X=2, Y=1	X=2, Y=1	X=3, Y=2	X=3, Y=2	X=4, Y=3
1	X=2, Y=1	X=2, Y=1	X=3, Y=2	X=3, Y=2	X=4, Y=3
2	X=3, Y=2	X=3, Y=2	X=4, Y=2	X=4, Y=2	X=5, Y=3
2	X=3, Y=2	X=3, Y=2	X=4, Y=2	X=4, Y=2	X=5, Y=3
3	X=4, Y=3	X=4, Y=3	X=5, Y=3	X=5, Y=3	X=6, Y=3

그러므로 X와 Y의 결합분포는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

X \ Y	1	2	3
2	4/25	0	0
3	0	8/25	0
4	0	4/25	4/25
5	0	0	4/25
6	0	0	1/25

E[X] = 2 × 4/25 + 3 × 8/25 + 4 × 8/25 + 5 × 4/25 + 6 × 1/25 = 90/25 

E[X²] = 4 × 4/25 + 9 × 8/24 + 16 × 8/25 + 25 × 4/25 + 36 × 1/25 = 352/25 

V[X] = E[X²] - (E[X])² = 1.12 

E[Y] = 1 × 4/25 + 2 × 12/25 + 3 × 9/25 = 55/25 

E[Y²] = 1 × 4/25 + 4 × 12/25 + 9 × 9/25 = 133/25 

V[Y] = E[Y²] - (E[Y])² = 0.48

E[XY] = 2 × 4/25 + 6 × 8/25 + 8 × 4/25 + 12 × 4/25 + 15 × 4/25 + 18 × 1/25 = 214/25 

Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]·E[Y] = 0.64

ρ[X, Y] = Cov[X, Y] / √( V[X]·V[Y] ) = 0.8728716

 

 

문제 28. 이산확률변수 X의 확률질량함수가 다음과 같을 때 E[X(6 - X)]을 구하여라.

 

 

E[X] = (1² + 2² + 3² + 4² + 5²) / 15 = 11/3 

E[X²] = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³) / 15 = 15

∴ E[X(6 - X)] = 6E[X] - E[X²] = 7

 

 

문제 29. 이산확률변수 X에 대하여, E[X] = 2와 E[X(X - 4)] = 5일 때, -4X + 12의 분산과 표준편차를 구하여라. 

 

E[X] = 2

E[X²] - 4E[X] = 5 ⇔ E[X²] = 13 

∴ V[-4X + 12] = 16V[X] = 16(E[X²] - (E[X])²) = 16(13 - 4) = 144 

∴ σ = 12 

 

 

문제 30. 확률변수 X는 이항분포(n = 10, p = 0.3)이고 Y는 포아송(λ = 2)이다. 이때 확률변수 X와 Y가 독립이라면 E[3X - 5Y + XY]를 구하여라.

 

E[3X - 5Y + XY] = 3E[X] - 5E[Y] + E[X]·E[Y] = 3 × 10 × 0.3 - 5 × 2 + (10 × 0.3) × 2 = 9 - 10 + 6 = 5

 

 

문제 31. 연속확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, E(X | y = 1/2)를 구하여라. 

 

 

E(X | y = 1/2) = ∫_{0 to 1} (3/2) · x · (x² + (1/2)²) dx / ∫_{0 to 1} (3/2) · (x² + (1/2)²) dx = 9/14

 

 

문제 32. X가 다음과 같은 확률밀도함수 f(x)를 가질 때, Y = e^-X의 확률분포함수와 확률밀도함수를 구하여라.

 

 

확률분포함수 F(y) = Pr(Y ≤ y) (단, e^-1 < y < 1) = Pr(X ≥ - ln y) = 1 + ln y

확률밀도함수 p(y) = d/dy F(y) = 1/y (단, e^-1 < y < 1)

 

 

문제 33. 이산확률변수 X와 Y의 결합확률함수가 다음과 같을 때, 상수 k의 값과 X와 Y의 주변확률함수를 구하여라.

 

 

1 = k(1² + 1²) + k(1² + 3²) + k(2² + 3²) = 2k + 10k + 13k = 25k ⇔ k = 1/25

P(X = 1) = 12/25

P(X = 2) = 13/25

P(Y = 1) = 2/25

P(Y = 3) = 23/25 

 

 

문제 34. X와 Y가 E[X] = E[Y] = 1인 지수분포를 따르고 독립일 때, X + Y의 밀도함수를 구하여라. 

 

p(x) = λe^-λx, λ = 1

M_X(t) = M_Y(t) = λ / (λ - t) = 1 / (1 - t)

M_X+Y(t) = (1 / (1 - t))² → 감마분포의 적률생성함수 (단, λ = 1, r = 2)

∴ P(X+Y = z; r, λ) = z exp(-z)

 

 

문제 35. X₁과 X₂의 결합 pdf가 다음과 같을 때, Y = g(X₁, X₂) = X₁ + X₂의 pdf를 구하여라. 

 

 

 

그러므로 Y의 PDF는 d/dy Pr(Y ≤ y) = 4y·e^-2y 

 

 

문제 36. X와 Y의 결합 확률 질량함수가 아래와 같을 때, c, f_X(x), P(X + Y > 1), X와 Y는 독립인지 여부를 구하여라. 

 

 

e^x = ∑_{k=0 to ∞} x^k / k! 이므로 1 = ∑∑ f(x, y) = c · ∑2^x / x! · ∑2^y / y! = ce⁴ ⇔ c = e^-4 

f_X(x) = e^-4 (2^x / x!) ∑2^y / y! = e^-2 2^x / x!

f_Y(y) = e^-2 2^y / y!

∴ f(x, y) = f_X(x)·f_Y(y) ⇔ X와 Y는 독립

P(X + Y > 1) = 1 - P(X + Y ≤ 1) = 1 - (f(0, 0) + f(0, 1) + f(1, 0)) = 1 - 5e^-4 

 

 

문제 37. X가 분포함수 F를 가지는 확률변수일 때, 확률변수 X²의 확률분포함수와 확률밀도함수를 구하여라. 

 

F(x) = Pr(X ≤ x)

확률분포함수 = Pr(X² ≤ y) = Pr(-√y ≤ X ≤ √y) = F(√y) - F(-√y) (단, y ≥ 0)

확률밀도함수 = Pr(X² = y) = d/dy Pr(X² ≤ y) = ( F'(√y) + F'(-√y) ) / 2√y (단, y ≥ 0)

 

 

문제 38. X가 다음과 같은 확률밀도함수를 가지는 확률변수일 때, Y = X²의 확률밀도함수를 구하여라. 

 

 

문제 37을 이용하자. 

F(y) = ∫_{-∞ to x} f(x) dx

확률밀도함수 = Pr(X² = y) = (1/√2π) · exp(-y/2) / √y 

이를 카이제곱분포라고 한다.

 

 

문제 39. 다음은 확률변수 X에 대한 분포표일 때, E[X], V[X], E[e^tX]를 구하여라.

 

X	-2	0	1	5
P(X = x)	0.2	0.3	0.4	0.1

 

E[X] = -2 × 0.2 + 1 × 0.4 + 5 × 0.1 = 0.5

E[X²] = 4 × 0.2 + 1 × 0.4 + 25 × 0.1 = 3.7 

V[X] = E[X²] - (E[X])² = 3.7 - 0.25 = 3.45 

E[e^tX] = e^-2t × 0.2 + 0.3 + e^-t × 0.4 + e^-5t × 0.1 

 

 

문제 40. P(H) = 3/4이고, P(T) = 1/4인 동전을 3번 던졌을 때, X를 연속되어 나오는 앞면의 횟수라 할 때, X의 기댓값, 분산, 표준편차를 구하여라. 

 

P(X = 0) =  (1/4)³ = 1/64 

P(X = 1) = 3 · (3/4)¹ · (1/4)² =  9/64

P(X = 2) = 3 · (3/4)² · (1/4) = 27/64

P(X = 3) = (3/4)³ = 27 / 64 

E[X] = 1 × 9/64 + 2 × 27/64 + 3 × 27/64 = 9 / 4

E[X²] = 1 × 9/64 + 4 × 27/64 + 9 × 27/64 = 45 / 8 

V[X] = E[X²] - (E[X])² = 0.5625 

σ = 0.75  

 

입력: 2024.12.24 13:56