【유체역학】 7강. 외류

7강. 외류(external flow)^]

 

추천글 : 【물리학】 유체역학 목차

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1. 레이놀즈 수와 기하학적 효과 [본문]

2. 운동량 적분 추정량 [본문]

3. 경계층 방정식 [본문]

4. 평판의 경계층 해석 [본문]

5. 실제 외류 해석 [본문]

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1. 레이놀즈 수와 기하학적 효과 [목차]

⑴ 국소 Reynolds 수(local Reynolds number)

 

 

⑵ 속도경계층 : 팁. 일반기계기사에서 경계층 공식으로서 아래 공식을 사용하면 됨

 

 

Figure 1. Reynolds 수가 낮고 높은 경우에 평판을 지나는 유동의 비교 :

⒜ 층류, 낮은 Reynolds 수 유동, ⒝ 층류 및 난류, 높은 Reynolds 수 유동

 

Figure 2. 뭉특한 물체 뒤에서 점성과 비점성 영역 사이의 심한 간섭의 설명 :

⒜ 뭉특한 물체유동의 실제로 불가능한 이상적인 유동, ⒝ 실제 유동현상

 

 

2. 운동량 적분 추정량 [목차]

 

Figure 3. 평판 위의 속도경계층의 성장

 

⑴ 항력 (Drag Force)

 

 

⑵ Flat Plate에 대한 Kármán의 분석

① 운동량 두께 (Momentum Thickness), θ

 

 

② 운동량 적분식 (Momentum Integral Relation)

 

 

③ 속도 방정식

 

 

④ 층류 (Re < 3,000,000)

 

 

⑤ 표면마찰계수 (Skin Friction Coefficient), c_f

 

 

⑥ 배제두께 (Displacement Thickness), δ*

 

 

Figure 4. 경계층의 배제효과

 

⑸ 다른 평판 분석 : 평판을 일정한 속도 u로 잡아당겼을 때 유체의 속도 분포는 다음과 같이 나타낼 수도 있음

 

 

① u : 평판을 잡아당긴 속도

② μ : 점도

③ ρ : 밀도

④ ν : 동점도

 

 

3. 경계층 방정식 [목차]

⑴ 외부유동 (External Flow) 문제풀이 방법론

① Numerical(Digital-computer) Solution

② Experimentation

③ Boundary-layer Theory

⑵ Derivation for 2D Flow

 

 

 

4. 평판의 경계층 해석 [목차]

 

Figure 5. 층류와 난류의 평판 속도분포의 비교

Figure 6. 매끈한 평판과 거친 평판의 층류와 난류경계층의 항력계수.

이 도표는 평판에 대한 Moody 선도의 유사물이다.

 

⑴ 층류

① Blasius 방정식 : f의 4차 미분 f'''', f의 2차 미분 f''에 대하여, 

 

 

② 항력계수(drag coefficient)

○ 항력계수의 정의

 

 

○ 항력(drag force)과의 연립

 

 

③ 형상계수(shape factor)

 

 

⑵ 천이구간 및 난류

① Polishing the Wall and Keeping the Free Stream Quiet

 

Re_x,tr = 3 × 10⁶

 

② Typical Commercial Surfaces and Gusty Free Stream

 

Re_x,tr = 5 × 10⁵

 

⑶ 난류

① 공식 1.

 

u / u* =（1 / 0.41）× ln（yu* / ν） + 5.0

u* = （τ_w / ρ）^½

 

② 공식 2.

 

（2 / c_f）^½ = 2.44 ln（Re_δ ×（c_f / 2）^½） + 5.0

 

③ 공식 3.

 

c_f = 0.02 Re_δ^⅙

 

④ 공식 4.

 

（u / U）_turb =（y / δ）^⅐

 

⑤ 공식 5.

 

θ =（7 / 72）δ

 

⑥ x= 0, δ = 0으로 가정하면

 

Re_δ = 0.19 Re_x^{6 / 7} 또는 （δ / x） = 0.16 / （Re_x^1.7）

 

⑦ 표면계수(Skin-friction Coefficient)

 

c_f = 0.027 /（Re_x^⅐）

 

⑧ 공식 6.

 

τ_{w, turb} = 0.0135 μ^⅐ρ^{（6 / 7）}U^{（13 / 7）}／x^⅐

 

⑨ 항력계수 (Drag Coefficient)

 

C_D = 0.031 /（Re_L^⅐） =（7 / 6）c_f (L)

 

⑩ 배제두께 (Displacement Thickness)

 

δ* =（1 / 8）δ

 

⑪ 형상계수(shape factor)

 

H = δ* / θ = 1.3

 

⑫ Skin Friction and Drag in the Fully Rough Regime

 

c_f =（2.87 + 1.58 log (x / ε)）^2.5

C_D =（1.89 + 1.62 log (L / ε)）^2.5

 

⑬ Transition Drag Curves Depending upon the Reynolds where Transition Begins

 

C_D = 0.031 /（Re_L^⅐） - 1440 /（Re_L）(단, Re_trans = 5 × 10⁵일 때)

C_D = 0.031 /（Re_L^⅐） - 8700 /（Re_L）(단, Re_trans = 3 × 10⁶일 때)

 

 

5. 실제 외류 해석 [목차]

⑴ Boundary Layer Thoery의 문제점

① Drag of 2D and 3D Bodies

○ Blunt Bodies

○ Streamlined Shapes

② Performance of Lifting Bodies

○ Airfoils and Aircraft

○ Projectiles and Finned Bodies

○ Birds and Insects

⑵ 유체에 잠긴 물체에 작용하는 항력

 

Figure 7. 균일유동에 잠겨진 물체에 작용하는 힘과 모멘트의 정의

 

① 항력 : 유선(free stream line)을 따라 물체에 가해지는 힘

② Roll, Pitch, Yaw

○ Roll : 유선 방향에 대해 좌우로 흔들리는 운동

○ Pitch : 유선 방향에 대해 위아래로 흔들리는 운동

○ Yaw : 유선 방향이 바뀌는 운동

 

Figure 8. 유동이 두 대칭면에 평행하면 단지 항력성분만 있게 된다.

 

③ 물체가 좌우대칭면을 갖고 있으면 Roll, Yaw 성분이 0이다; 이 경우 항력, 양력, Pitch만 고려

참고. 만약 유선이 Horizontal Plane의 법선벡터에 수직하면 양력과 Pitch 성분도 사라진다.

④ 자유흐름속도(Free-stream Velocity)와 레이놀드 상수

 

Re = UL／ν

 

⑶ Characteristic Area

① Force Coefficient

 

 

② Characteristic AreaFrontal area, the body as seen from the stream: suitable for thick, studdy, bodies, such as spheres, cylinders, cars, missiles, projectiles, and torpedoes. Planform area, the body area as seen from abocve; suitable for wide, flat bodies such as wings and hydrofoils. Wetted area, customary for surface ships and barges

⑷ 마찰항력(Skin Friction Drag)과 압력항력(Form Drag, Pressure Drag) (ref) 

① 수식화

 

 

Figure 9. Re_c = 10⁶에서 유선형 2차원 실린더의 항력

⒜ 두께 비가 마찰항력의 백분율에 비치는 영향

⒝ 두 가지 다른 면적을 기준으로 하였을 때의 두께 비 대 총항력

 

② 박리현상과 후류

○ 박리 현상 (분리 현상) : 유동과정에서 발생한 역압력 구배에 의해 유체 입자가 이탈하는 현상

 

 

○ 후류(wake) : 항상 박리점 후방에 생김

 

Figure 10. 원형 실린더 주위의 유동 : ⒜ 층류박리, ⒝ 난류박리, ⒞ 이론적 및 실제적 표면압력분포

 

Figure 11. 원형실린더 주위의 유동의 묘사 : ⒜ 층류박리, ⒝난류박리

 

③ 골프공 일화^]

○ 출처 : 이동현상의 응용과 해법, 이동현상 부문위원회(이현구 등), 한국화학공학회, 2002, 49p.

○ 예전에는 골프공의 표면을 매끄럽게 제작하여 사용하였다. 그러나 사람들은 골프공이 낡아 표면이 거칠어졌을 때 더 멀리 날아가는 것을 경험적으로 알게 되었다. 지금은 골프공의 표면에 의도적으로 작은 홈(Dimple)을 300개 이상 만들어 사용하고 있다. 이와 같이 표면에 홈이 파진 골프공이 더 멀리 날아가는 이유를 서술하시오.

○ 매끈한 공의 경우, 공이 바른 속도로 나아갈 때 공의 중간쯤에서부터 경계층의 분리가 일어난다. 이때 공의 중간이후부터 공기의 속도가 급격하게 떨어짐과 동시에 공기의 흐름의 방향이 바뀌어 순환후류가 형성된다. 이 경우 공의 앞면에서는 높은 압력이, 뒷면에서는 낮은 압력이 걸려 큰 형태저항이 걸린다. 반면, 홈이 있는 공의 경우 공의 앞 표면에서 난류유동이 발생하여 경계층의 분리 및 순환후류가 훨씬 작아진다. 이렇게 되면 낮은 압력을 가지게 되는 공의 표면이 줄어들어 공의 저항이 감소한다.

 

Figure 12. 직경 8.5 in의 볼링공이 25 ft/s의 속도로 물 속에 잠길 때에 대한 층류와 난류박리의 중요한 차이 :

⒜ 매끈한 볼, 층류 경계층, ⒝ 같은 물 속의 낙하에서 앞부분이 모래로 거칠게 된 경우에 형성되는 난류경계층

(NAVAIR Weapons Division Historical Archives)

 

④ 포복흐름에서 총 항력 6πμUR 중 마찰항력이 2πμUR이고, 압력항력이 4πμUR이다. 반지름이 R인 기포는 마찰항력이 작용하지 않아 총 항력이 4πμUR인데 그 이유를 설명하겠다. 기표표면에서는 접선응력(τ_rθ)이 연속이어야 한다. 즉,

 

τ_rθ = τ_rθ*

 

여기서 τ_rθ, τ_rθ*는 각각 기포의 외부와 내부의 접선응력을 나타낸다. 그러나 접선응력이 점도에 비례하고 기포점도가 유체점도에 비해 무시할 수 있을 정도로 작으므로 접선응력은 0이 된다. 따라서, 기포의 경우 점성마찰항력은 0이 된다.

⑸ 항력계수에 대한 직관

① 직관 : 특성길이가 l_c인 물체가 비압축성 뉴턴액체에서 Re가 매우 크면 항력계수 C_D는 Re에 관계없이 거의 일정^]

○ 출처 : 이동현상의 응용과 해법, 이동현상 부문위원회(이현구 등), 한국화학공학회, 2002, 26p.

② Re가 매우 클 때 : Re가 매우 크면서 층류라면 Figure. 11.과 같이 물체의 후면에서 경계층이 분리되고 순환와류가 발생한다. 이에 따라 물체에 작용하는 항력은 주로 압력으로부터 온다. 또한 압력은 베르누이 원리에 의해 (1/2)ρU²의 상수배가 된다. 해당 상수는 형상과 물리적 환경에 따라 물체에 영향을 미치는 유효비율과 관계된다. 그러므로 다음이 성립한다.

 

 

③ 물체가 유선형일 때 : 이때는 물체의 후면에서 경계층의 분리가 일어나지 않아서 순환와류가 발생하지 않아 점성응력이 항력을 지배한다. Re가 큰 층류에서 경계층 두께는 물체의 전체 표면에서 크기 차수가 O(l_cRe^-1/2)이다. 따라서 전단응력 τ는 경계층 내에서의 속도기울기에 비례하므로 크기차수는 τ = O(μURe^1/2/l_c)이고 항력 F_D = O(μUl_cRe^1/2)이다. 그러므로 다음이 성립한다.

 

 

④ Re가 매우 작을 때 : 경계층 두께가 물체의 전체 표면에서 크기 차수가 O(l_cRe^-1/2)이 아님을 유의

⑹ 주요 도형의 항력계수

 

Figure 13. Re ≥ 10⁴에서 2차원 물체의 항력계수

Figure 14. 낮은 Mach 수에서 매끈한 물체의 항력계수 : ⒜ 2차원 물체, ⒝ 3차원 물체.

문툭한 물체는 높은 Reynolds 수에서 Reynolds 수의 영향을 받지 않음에 주목하자.

 

The drag of some representative wide-span (nearly 2D) bodies. All bodies have high C_D at very low (creeping flow) Re ≤ 1.0, while they spread apart at high Reynolds numbers according to their degree of streamlining.

⑺ 종말속도(terminal velocity)

① 정의 : 물체의 항력과 중력이 같아지는 순간의 낙하속도

② 방법 1. 갈릴레오 수(Galileo number), 레이놀즈 수(Reynolds number)를 이용

 

 

③ 방법 2. 구형물체가 아닌 경우 종말속도 방정식

 

 

⑻ 포복흐름(Creeping Flow)

① Re < 0.1 : Navier-Stokes 방정식에서의 가속도 성분은 무시됨

② 연속방정식과 Navier-Stokes 방정식 : 만일 Re가 매우 작다면,

 

∇·V = 0, ∇p ≃ μ∇²V

 

③ 구에서의 항력계수

 

 

④ 유용한 공식 : 0 < Re < 6 × 10³에서 구에 적용되는 항력계수는 다음과 같음

 

 

○ 이 식은 전국 대학생 화학공학 학력경시대회(이동현상)에서 유용하게 사용

⑤ 유용한 공식 : 0.1 ≤ Re ≤ 1000에서 구에 적용되는 항력계수는 다음과 같음

 

 

⑼ Biological Drag Reduction

 

 

Figure 15. 바람에 대한 생물학적 적응 : ⒜ 튜울립 나무의 잎들은 높은 풍속에서 원추형으로 감긴다.

⒝ 검은 호두나무 잎사귀 등은 바람이 증가함에 따라 저항이 적은 다발 형태를 이룬다.

 

Most such effort concentrates on rigid-body shapes. A different process occurs in nature. Tree root systems have evolved in several ways to resist wind-induced bending moments. And trunk cross sections have become resistant to bending but relatively easy to twist and reconfigure.

⑽ 부유하는 물체에 작용하는 힘

① 이상적인 부유물(airfoil, hydrofoil, vane, etc)은 큰 양력과 작은 항력을 생성함

② 베르누이 원리 : 완만한 Leading Edge에서는 흐름을 가르지만, 날카로운 Trailing Edge에서는 비교적 나란한 흐름(wake)을 생성하며, 이로 인해 양력이 발생됨

 

 

Figure 16. 양력발생의 과도단계 : ⒜ 시작 : 뒷 정체점은 윗면에 위치함; 양력 없음,

⒝ 날카로운 뒷전은 박리를 유발하고, 시동와류가 형성됨: 양력은 적음,

⒞ 시동와류는 떨어져 나가고, 유선들은 후연으로부터 매끄럽게 유출됨: 약 80 %의 양력 발생,

⒟ 시동와류는 멀리 떨어지고 뒷전 유동은 매구 매끄러움; 완전한 양력 발생.

 

Figure 17. 양력날개의 부위별 명칭

 

C_L,theory ≃ 2π sin（a + 2h／c）

 

③ 레이놀즈 수의 증가는 (기울기 변화 없이) 최대 양력을 증가시키고, 항력계수를 감소시킨다.

④ 분리플랩(Split Flap) : 날개에 부착되는 보조구조로서 Airfoil을 비대칭적으로 만들어서 양각을 조절하여, 날개 전체의 운동 없이 양력을 효율적으로 이용할 수 있게 한다.

 

Figure 18. 무한수팬의 NACA0009 대칭형 익형의 양력과 항력. 분리플랩의 전향각의 영향을 보여줌(α = -12°).

분리플랩이 C_D를 100 ~ 300% 증가시킴에 유의.

 

⑤ A lifting craft cruises at low angle of attack, where the lift is much larger than the drag. Finite span can be correlated with slenerness, or aspect ratio, denoted (AR):

 

 

The theory or finite-span airfoils predicts that the effective angle of attack increases by the amount,

 

 

Figure 19. 표준형(0009)과 층류운동형(63-009)의 NACA 익형의 양력-항력 극좌표 도시

Figure 20. 유한 종횡비가 익형의 양력과 항력에 미치는 영향 : ⒜ 유효각 증가, ⒝ 유도항력 증가.

 

The finite-span lift becomes

 

 

The associated drag increase is

 

 

The existence of a maximum lift coefficient implies the existence of a minimum speed, or stall speed, for a craft whose lift supports its weight :

 

  

Figure. 21. 고양력장치에 따른 성능 : A = NACA 0009; B = NACA 63-009; C = Kline-Fogleman형; D~I는 상기 표기;

⒜ 고양력장치의 형태, ⒝ 여러 가지 장치에 대한 양력계수

 

⑥ (참고) Kwtta Kaukowski의 정리

○ V : 평행흐름. Γ : 물체 둘레의 순환. L : 양력. ρ : 유체의 밀도

○ 원통표면상의 한 점 P

 

 

○ 양력 L에 대한 공식

 

 

입력: 2016.12.09 13:18

수정: 2020.08.14 00:45