【통계학】 12강. 오차해석 (오차이론)

12강. 오차해석(오차이론)

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차

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1. 오차의 본질 [본문]

2. 오차의 종류 [본문]

3. 측정값의 유효숫자 [본문]

4. 표준오차 [본문]

5. 오차의 전파 [본문]

6. 최소 제곱법 [본문]

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1. 오차의 본질 [목차]

⑴ 측정 : 엄밀히 정해진 단위에 대해 측정값을 결정하는 것

⑵ 오차 = 측정값 - 참값

⑶ 양자역학의 불확정성 원리에 의해 어떤 측정이든 참값을 정확히 알 수 없음

⑷ 참값이 정확하지 않으므로 오차는 특정 값이라기보다는 특정 범위로 간주되는 게 타당 (확률오차와 관련)

 

 

2. 오차의 종류 [목차]

⑴ 부당오차

① 정의 : 계기조작상 분명히 실수를 범하여 측정값이 신빙성이 없는 경우에 생기는 오차

② 예 1. 길이를 재는데 한쪽 원점을 맞추지 않은 경우

③ 예 2. 저항측정에서 원점을 확인하지 않는 경우

④ 해결방법 : 원인이 명백하므로 얻은 데이터를 무시

○ 이들을 포함시킨다면 다른 측정값들의 신빙성이 떨어지기 때문

⑵ 계통오차(systematic error)

① 정의 : 측정계기의 불안정한 상태로 인한 오차

② 특징 : 크기와 부호를 추정할 수 있고 보정할 수 있는 오차

③ 예 1. 전압을 여러 번 측정하여 평균값을 얻었는데 확인결과 사용한 전압계의 눈금이 원점에서 벗어난 경우

④ 예 2. 어떤 자로 길이를 재었는데 온도에 따른 길이의 변화를 고려하지 않는 경우

⑤ 예 3. truncation error : 급수로 표현되는 해에서 특정 항까지만 취함으로써 생기는 오차

⑶ 우연오차(random error)

① 정의 : 반복 측정할 때마다 상이한 결과를 얻게 되는 측정값들의 변동에 기인하는 오차

② 해결방법 : 더 정밀한 측정계기를 사용하거나 여러 번 반복 측정하는 경우

③ 우연오차를 줄이는 문제가 실험결과를 향상시키는 제일 중요한 요소

⑷ 확률오차(probable error)

① 정의 : 측정값을 얻을 때 추정되는 오차의 크기

② 오차의 원인이라기보다는 오차를 표현하는 방법

③ σ_p로 표시하며 측정값 x = x_avg ± σ_p와 같이 사용

○ x의 오차가 σ_p라는 의미가 아님

○ x가 ±σ_p 이상 벗어날 확률이 작다는 의미

○ 참값이 x_avg - σ_p와 x_avg + σ_p 사이에 있을 확률이 50%가 되도록 σ_p를 설정

④ 오차는 정상분포를 이루며, 오차의 표준편차를 σ_m이라 하면 참값이 x_avg - σ_m과 x_avg + σ_m 사이에 있을 확률은 약 68 %

⑤ σ_p = 0.67 σ_m로 설정하면 참값이 x_avg - σ_p와 x_avg + σ_p 사이에 있을 확률이 50%가 됨

 

 

3. 측정값의 유효숫자 [목차]

⑴ 필요성 : 모든 측정값은 근사값이므로 측정값은 효력이 있는 숫자, 즉 유효숫자만을 표시해야 함

⑵ 유효숫자 선택 규칙

① 0이 아닌 맨 왼쪽의 숫자가 최상 유효숫자임

② 소수점이 없을 경우에는 0이 아닌 맨 오른쪽의 숫자가 최하 유효숫자

③ 소수점이 있을 경우에는 맨 오른쪽의 숫자가 0이라도 이 수가 최하 유효숫자

④ 최상 유효숫자와 최하 유효숫자 간의 모든 숫자가 유효숫자

⑤ 예 : 밑줄친 부분만이 유효숫자

○ 994.29

○ 56000

○ 0.0048

○ 6.000

○ 800.

○ 2.990 × 10⁴

⑶ 유효숫자 계산 규칙 : 측정값들을 계산할 때 불필요한 계산시간의 낭비를 줄임

① 덧셈과 뺄셈 : 7.9와 0.1637의 합을 계산하면

○ 숫자 7.9는 소숫점 이하 두 자리에서는 유효숫자가 없으므로 0.1637을 그곳에서 자름 → 0.16

○ 7.9 + 0.16 = 8.06

○ 반올림 하여 소숫점 이하 한 자리가 되도록 하면 8.06 → 8.1

② 곱셈과 나눗셈 : 7.9와 0.1637의 곱을 계산하면

○ 7.9 × 0.1637 = 1.29323

○ 7.9는 유효숫자가 두 자리이고 0.1637은 유효숫자가 네 자리이므로 결과가 두 자리가 되도록 반올림하면 됨

○ 1.29323 → 1.3

 

 

4. 표준오차 [목차]

⑴ 필요성 : 측정값들은 우연오차로 인해 어떤 분포를 이룸 → 이들을 대표할 수 있는 수치가 필요

⑵ 종류 1. 최빈값 : 가장 많이 나타나는 측정값

⑶ 종류 2. 중앙값 : 크기 순으로 자료들을 나열했을 때 중앙에 위치한 측정값

⑷ 종류 3. 평균값 : 측정값들의 산술평균

① N개의 측정값들을 x₁, x₂, ···, x_N이라 했을 때

 

 

 

② 만일 각 측정값 x₁, x₂, ···, x_N의 빈도를 각각 f₁, f₂, ···, f_N이라 했을 때

 

 

 

③ 분산(variance) σ²의 계산

 

 

 

④ 각 회당 한 물리량을 M번씩 측정하면, 매회 얻어지는 측정값에 대한 평균값과 표준편차는 달라짐

⑤ 표본평균 x_avg의 표준편차를 σ_m이라 하면 σ, σ_m, N 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

 

 

○ σ_m을 표준오차라고도 부름

⑥ 측정자료들로부터 보고할 측정값은 다음과 같음

 

x = x_avg ± σ_m

 

⑦ 일반 물리학실험에서는 신뢰계수를 50 %로 잡는 확률오차를 이용하여 측정값을 보고하는 것이 보통임

 

x = x_avg ± σ_p = x_avg ± 0.6745σ_m

 

⑧ 오차를 표기하는 방법

○ 절대오차 : σ의 형태로 보고

○ 상대오차 : σ／|x_avg|의 형태로 보고

○ 퍼센트오차 : σ／|x_avg| × 100의 형태로 보고

 

 

5. 오차의 전파 [목차]

⑴ 예시 : 직육면체의 부피를 구하는 실험

① 경우 1. 1,000개의 부피에 대한 데이터를 얻어 평균값과 표준편차를 구하는 것

② 경우 2. 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 구하는 것

③ 경우 2가 훨씬 편리하지만 오차가 누적됨

⑵ 오차의 전파 이론(error propagation theory)

① 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, ···의 z = f(x, y, ···)의 관계로 주어졌다고 가정

② x, y, ···의 측정으로부터 x_avg, y_avg, ···의 평균값(표본평균)과 σ_x, σ_y, σ_z의 표준편차들을 얻었다고 가정

③ z의 평균값 z_avg

 

z_avg = f(x_avg, y_avg, ···)

 

④ z의 표준편차 σ_z

 

 

⑤ (∂f／∂x)₀, (∂f／∂y)₀, ···는 평균값 x_avg, y_avg, ···에서 계산한 편도함수들을 의미

⑶ 오차의 전파공식

① z = ax ± by

 

 

② z = axy

 

 

③ z = ax／y

 

 

④ z = ax^b

 

 

⑤ z = ae^bx

 

 

⑥ z = a log(bx)

 

 

⑷ 제언

① 유효숫자 계산 규칙은 오차의 전파공식으로부터 비롯된 것임

② 멱함수의 경우 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지므로 특히 정밀한 측정이 요구됨

 

 

6. 최소 제곱법 [목차]

⑴ 최확값(most probable value) : 편차의 제곱의 합을 극소로 해주는 대표값

⑵ 최소 제곱법

① 한 양을 N번 되풀이하여 측정해서 측정값 x₁, x₂, ···, x_N을 얻었다고 가정

② 최확값을 x라 하면, 편차의 제곱의 합은 다음과 같음

 

 

③ 이를 x의 함수로 보고, 이 함수가 극소값을 갖는 조건은 다음과 같음

 

 

④ 이 경우 최확값은 평균값과 일치함을 알 수 있음

⑶ 다항식 추세선을 구할 때 자주 사용

 

입력 : 2019.04.13 01:28