【통계학】 3강. 확률공간

3강. 확률공간(probability space)

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차

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1. 집합론 [본문]

2. 조건부 확률 [본문]

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a. 포함배제의 원리

b. 몬티홀 문제 

c. 고난이도 확률문제

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1. 집합론(set theory) [목차]

⑴ 결과(경우, outcome) : 임의로 정의 가능. ω_i로 표시

⑵ 표본공간(sample space) : 다음 조건을 만족하는 집합 Ω

① Ω = { ω₁, ω₂, ···, ω_n}

② ω_i와 ω_j는 배반(disjoint)

③ Ω는 가능한 모든 결과를 포함

④ {{1, 2, 3}, {3, 4, 5, 6}} (×)

⑤ {{1, 2}, {3, 4, 5, 6}} (○)

⑶ 필드(field) : Ω의 모든 부분집합의 집합 F

① 가정 : Ω = {1, 2, 3}

② F = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

⑷ 사건(events) : F의 각 원소, 즉 표본공간의 부분집합

① 전사건(total event) : Ω

② 공사건(null event) : ∅

③ 여사건(complementary event) : A^c = Ω - A

④ 합사건(union event) : A ∪ B

⑤ 곱사건(intersection event) : A ∩ B

⑥ 배반사건(mutually exclusive events) : A ∩ B = ∅인 사건 A, B의 관계

⑦ 사건의 개수 : 경우의 수가 n일 때 2ⁿ개

⑸ 확률(probability)

① 직관적 정의 : 특정 사건의 확률 = 특정 사건의 경우의 수 ÷ 모든 경우의 수

② axiomatic approach : 통계학의 아버지 Kolmogorov가 제안

○ 확률은 함수의 일종 : F → ℝ

○ 공리 1. P(E) ≥ 0

○ 공리 2. P(Ω) = 1

○ 공리 3. 확률의 덧셈정리(addition rule) : 배반인 E_i와 E_j에 대해

 

 

○ 유도 1. P(∅) = 0

○ P(U) = P(U) + P(∅) ⇔ P(∅) = 0

○ E ≠ ∅임에도 P(E) = 0일 수 있음을 유의

○ 유도 2. P(E^c) = 1 - P(E)

○ 1 = P(E ∪ E^c) = P(E) + P(E^c)

○ 유도 3. E ⊂ F → P(E) ≤ P(F)

○ F = E ∪ (E^c ∩ F) → P(F) = P(E) + P(E^c ∩ F) ≥ P(E)

○ 유도 4. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

○ E ∪ F = (E^c ∩ F) ∪ (E ∩ F) ∪ (E ∩ F^c)

○ P(E ∪ F) = (P(F) - P(E ∩ F)) + P(E ∩ F) + (P(E) - P(E ∩ F))

③ 크롬웰의 규칙(Cromwell's rule) : 논리적 문장을 제외하고는 1 또는 0의 확률로 현상을 해석하지 말라는 의미

⑹ 포함배제의 원리(inclusion-exclusion principle)

 

 

① 예 : P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(B ∩ C) - P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

 

 

2. 조건부 확률(conditional probability) [목차]

⑴ 조건부 확률

① P(A | B) : 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률

② 표현 : P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)

③ P(A | B) ≠ P(B | A)

④ 확률의 곱셈정리(multiplication rule) : P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)

⑤ 전제가 둘 이상일 때의 확률의 곱셈정리

○ 어떤 확률을 구하더라도 암묵적으로 특정 전제조건(e.g., α, β)이 존재하므로 다음 식은 자명하게 성립

 

 

⑵ 조건부 확률의 연쇄법칙(chain rule of conditional probability)

 

① 예 : P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B | A) × P(C | A ∩ B)

⑶ 사건의 독립(independence) : 조건부 확률이 내재 확률과 동일한 경우

① 표현 : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

② 응용

○ P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = P(A)

○ P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A) = P(B)

○ E와 F가 독립 ⇔ E^c와 F가 독립 ⇔ E와 F^c가 독립 ⇔ E^c와 F^c가 독립

○ P(A) = 0이면 A와 B는 항상 독립

○ P(A), P(B) ＞ 0이고 A와 B가 독립 → A와 B는 배반(disjoint)이 아님

○ A와 B가 배반이면 P(A) = 0, P(B) = 0 또는 A와 B가 not independent (대우명제)

③ 직관적 의미

○ 한 변수에 대한 정보가 다른 변수에 대한 어떤 정보도 알려주지 않음

④ (참고) 조건부 확률과의 관계

○ Pr(X = x | Y = y) = Pr(X = x)

⑷ 상호독립(mutual independence)

① 조건 1.

 

 

② 조건 2. 조건 1을 포함

 

 

⑸ 조건부독립(conditional independence)

① 정의

 

 

② 조건부 독립이라고 항상 독립인 것은 아님

③ 독립이라고 항상 조건부 독립인 것은 아님

⑹ 전확률의 법칙(law of total probability)

① 분할(partition)

○ 정의 1. (exhaustive) Ω = B₁ ∪ B₂ ∪ ··· ∪ B_n

○ 정의 2. (disjoint) B_i ∩ B_j = ∅

② 결론

 

 

○ 팁 : 벤 다이어그램을 그리면 쉽게 이해 가능

③ 중요성 : 베이즈 정리 유도에 활용

⑺ 베이즈 정리(Bayes' theroem)

① 가정 1. S = B₁ ∪ B₂ ∪ ··· ∪ B_n

② 가정 2. ^∀ i, j, B_i ∩ B_j = ∅

③ 결론

 

 

④ 중요성 1. P(B | A)를 계산하기 위해 전혀 무관한 P(A | B)를 이용할 수 있음

⑤ 중요성 2. 결과(posterior, a posteriori)를 보고 원인(prior, a priori)을 예측 가능

○ A : 결과로 관찰되는 사건 

○ B : 원인이 되는 사건

○ P(B_i) : prior

○ P(B_i | A) : A가 관찰시 B_i가 원인이었을 확률 (posterior)

○ P(A | B_i) : B_i가 원인이었을 때 A가 일어날 확률 (likelihood)

⑥ (참고) 베이즈 통계학 

○ 모집단을 확정하기 않고 확률을 추론

○ 확률은 인간의 믿음에 불과하다고 주장

⑻ 예제 1. 진단율

① 암 환자 비율

 

P(A) = 1%

 

② 진단시 양성 확률(적중률)

 

P(B)

 

③ 암 환자 진단시 양성 확률

 

P(B | A) = 95%

 

④ 암 환자가 아닌 사람을 진단시 거짓양성 확률

 

P(B | A^c) = 5%

 

⑤ 문제 : 진단시 양성인 사람이 정말 암에 걸렸을 확률

 

P(A | B)

 

⑥ 진단시 양성비율 : 전확률의 법칙 이용

 

P(B) = P(B | A) + P(B | A^c) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99

 

⑦ 임의의 사람이 암 환자이면서 진단시 양성 비율인 확률

 

P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A) = 0.95 × 0.01

 

⑧ 답

 

P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0.16

 

⑨ 해석 : 암 환자가 아닌 사람이 많으므로 거짓양성 비율이 상당히 많음

⑼ 예제 2. 몬티홀 문제(Monty hall problem)

① 상황

○ 세 개의 문 중 한 개의 문 뒤에 슈퍼카가 대기

○ 쇼 참가자는 세 개의 문 중 한 개의 문을 선택

○ 쇼 진행자는 쇼 참가자가 열지 않은 문 중 임의로 하나를 개방

○ 쇼 참가자는 기존의 선택을 고수하거나 선택을 바꿀 수 있음

○ 문제 : 어떤 선택이 합리적인가?

② 전제

○ 쇼 참가자는 최초에 1번 문을 선택

○ 쇼 진행자는 3번 문을 개방

③ 정의

○ P(ⅰ) : 1번 문 뒤에 슈퍼카가 있을 확률

○ P(ⅱ) : 2번 문 뒤에 슈퍼카가 있을 확률

○ P(ⅲ) : 3번 문 뒤에 슈퍼카가 있을 확률

○ P(Ⅰ) : 쇼 진행자가 1번 문을 선택할 확률

○ P(Ⅱ) : 쇼 진행자가 2번 문을 선택할 확률

○ P(Ⅲ) : 쇼 진행자가 3번 문을 선택할 확률

○ P(ⅰ), P(ⅱ), P(ⅲ)는 사전확률(원인)

○ P(Ⅰ), P(Ⅱ), P(Ⅲ)는 사후확률(결과)

④ 조건부 확률

○ P(ⅰ | Ⅲ) : 쇼 진행자가 3번 문을 선택했을 때, 1번 문 뒤에 슈퍼카가 있을 확률

○ P(Ⅲ | ⅰ) : 1번 문 뒤에 슈퍼카가 있을 때, 쇼 진행자가 3번 문을 선택할 확률

⑤ 베이즈 정리

○ P(ⅰ | Ⅲ)

 

 

○ P(ⅱ | Ⅲ)

 

 

○ P(ⅲ | Ⅲ)

 

 

⑥ 결론 : 쇼 참가자는 최초의 선택을 바꾸는 게 유리함

 

입력 : 2019.06.16 22:02