【대수경】 제 34회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 34회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 34회 전국 대학생 (공업)수학 경시대회

 

제 2 분야

 

2015년 11월 14일 (10:00 - 13:00)

 

 

1. 다음 적분값을 계산하여라.

 

 

 

Solution. 

u = x² + 1이라고 두자.

 

 

 

2. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 행렬 A = (a_ij)가 a_ij = max{ i, j }로 주어질 때, det (A)를 구하여라.

 

 

Solution. 

⑴ 1 × 1 행렬, 2 × 2 행렬, 3 × 3 행렬에 대한 조사

 

 

⑵ 행렬식의 성질

 

 

⑶ 수학적 귀납법 적용  

 

 

 

3. 급수

 

 

의 수렴 여부를 판정하여라.

 

 

Solution. 

 

 

완비성 공리에 의해, 증가수열이 유계이면 그 수열은 수렴한다.

 

 

4. 모든 성분이 유리수이고 크기가 5 × 5인 행렬 A의 한 고유벡터가 (1, √2, √3, √4, √5)^T이다. 이 때, A^T는 모든 성분이 유리수인 고유벡터를 가짐을 보여라. (단, A^T는 A의 전치행렬)

 

 

Solution. 

 

 

√2, √3, √5는 유리수의 연산에 대하여 선형 독립이다.

그런데 A의 모든 성분은 유리수라고 주어져 있다.

따라서 1행과 4행을 비교만 해도 다음과 같은 관계식을 찾을 수 있다.

 

2 × (a₁₁ + 2a₁₄) = a₄₁ + 2a₄₄

2 × a₁₂ = a₄₂

2 × a₁₃ = a₄₃

2 × a₁₅ = a₄₅

 

따라서 다음과 같은 고유벡터가 있음을 보일 수 있다.

 

 

 

5. 무한 번 미분가능한 함수 f : (-1, ∞) → ℝ가 모든 양의 정수 n에 대하여, f(1/n) = n / (n+1)을 만족할 때 f'''(0)을 구하여라.

 

 

Solution. 

주어진 함수는 무한 번 미분가능하므로, 연속임은 자명하다.

n이 상당히 클 때, 함수의 연속에 의해 1/n에 수렴하는 실수열 { x_m }은 다음을 만족한다.

 

 

따라서 x = 0⁺ 근처에서 f(x) = (1/x) / ((1/x) + 1) = 1/(x+1)을 만족한다고 볼 수 있다. (함수 근사)

그러므로 f'''(0)은 다음과 같다.

 

 

 

6. 함수 f : [a, b] → ℝ가 연속일 때, 다음을 만족하는 상수 c ∈ [a, b]가 존재함을 보여라.

 

 

 

Solution. 

c = a인 경우 다음이 성립한다.

 

 

c = b인 경우 다음이 성립한다.

 

 

따라서, 중간값 정리에 의해 (준식)을 만족하는 c ∈ [a, b]가 존재한다.

 

 

7. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 복소행렬 A = (a_ij)가 다음 조건을 만족한다.

(i) a_ii = 1 (1 ≤ i ≤ n) 

(ii) a_ij = 0 (1 ≤ j < i ≤ n)

(iii) ĀA = I

이 때, 다음 조건을 만족하는 크기가 n × n인 복소행렬 B = (b_ij)가 존재함을 보여라.

(I) b_ii = 1 (1 ≤ i ≤ n)

(II) b_ij = 0 (1 ≤ j < n)

(III) B̅A = B 

(단, Ā = (ā_ij), I는 단위행렬) 

 

 

Solution. 

실수부가 1/2인 임의의 복소수 α에 대하여 B = αA + αI는 주어진 조건을 만족함을 알 수 있다.

 

 

 

8. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 실행렬 X = (x_ij)의 성분 x_ij들은 X가 가역인 범위에 있다고 가정하자. 역행렬 Y = X^-1 = (y_pq)의 성분을

 

 

과 같이 변수 x_ij에 대한 함수로 생각할 때, 다음을 보여라.

 

 

 

Solution. 

 

 

입력: 2023.03.11 10:53