【통계학】 우도비 검정과 Wilks’ phenomenon 증명

우도비 검정과 Wilks’ phenomenon 증명

 

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1. 정리 [본문]

2. 증명 [본문]

3. 예제 [본문]

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1. 정리 [목차]

⑴ 우도비 검정(likelihood ratio test) : 귀무가설 H₀ : θ = θ₀, 대립가설 H₁ : θ ≠ θ₀가 주어져 있을 때, 귀무가설 H₀를 기각하는 조건, 즉 기각역을 다음과 같이 설정할 수 있음 (단, ℒ는 우도함수)

 

 

⑵ 일반화된 우도비 검정(generalized likelihood ratio test) : 우도비 검정에서 H₀를 θ = θ₀와 같이 단순 가설로밖에 정의할 수 없는 게 문제가 됨. 귀무가설 H₀ : θ ∈ Θ₀, 대립가설 H₁ : θ ∉ Θ₀와 같이 더 다채롭게 정의한 상황에 대하여 귀무가설 H₀를 기각하는 조건, 즉 기각역을 다음과 같이 설정할 수 있음 (단, ℒ는 우도함수)

 

 

⑶ Wilk's phenomenon : n이 충분히 크면, θ = (θ₁, ···, θ_k), 귀무가설 H₀ : θ ∈ Θ₀, 대립가설 H₁ : θ ∉ Θ₀에 대하여, -2 log λ(X₁, ···, X_n)은 자유도가 ν인 카이제곱분포를 따름 

 

 

⑷ 단순화된 Wilk's phenomenon : n이 충분히 크면, 귀무가설 H₀ : θ = θ₀, 대립가설 H₁ : θ ≠ θ₀, θ ∈ ℝ에 대하여, -2 log λ(X₁, ···, X_n)은 자유도가 1인 카이제곱분포를 따름 

 

 

 

2. 증명 [목차]

 

 

○ 단순화된 Wilk's phenomenon에 대해 증명

○ 테일러 전개(Taylor expansion)를 이용

 

 

3. 예제 [목차]

⑴ 예제 1. X₁, ···, X_n ~ Poisson(λ)와 귀무가설 H₀ : λ = λ₀, H₁ : λ ≠ λ₀에 대하여 신뢰수준 α에 대한 기각역을 찾아라. 

 

 

⑵ 예제 2. θ = (p₁, ···, p₅)에 대한 다항분포를 따르는 y₁, ···, y₅가 있어 L(θ) = p₁^y₁ ··· p₅^y₅와 같이 정의된다. 귀무가설 H₀ : p₁ = p₂ = p₃, p₄ = p₅와 대립가설 H₁에 대하여, 신뢰수준 α에 대한 기각역을 찾아라. 

 

 

입력: 2024.09.24 22:10