【회로이론】 17강. 4단자망과 분포정수회로

17강. 4단자망과 분포정수회로

 

추천글 : 【회로이론】 회로이론 목차

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1. 불균일성 1. 분극 [본문]

2. 불균일성 2. 포인팅 벡터 [본문]

3. 4단자망과 분포정수회로 [본문]

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1. 불균일성 1. 분극(polarization) [목차]

⑴ 개요

① 분극 : 외부 전기장이 가해질 때 물체 안의 전하 분포가 재배열되는 현상. 전기 쌍극자가 생성됨

② 유전체(dielectric) : 전기장을 가할 때 유전 분극 현상이 일어나는 물질

③ 유전율(permittivity) 또는 유전상수(dielectric constant) : 유전체에서 분극 현상이 일어나는 정도

○ 부도체의 전기적인 특성을 나타내는 값으로 절연성이 클수록 유전율이 큼

○ 화학에서는 용매의 극성이 클수록 유전상수가 크다는 사실이 중요하게 이용됨

○ 분극현상에 의해 전기장의 세기가 작아지는 비율

○ (참고) 일반 공기는 무시할 수 있을 정도의 도전율을 갖고 있음

○ (참고) 비오는 날은 도전성이 증가하여 감쇠가 더 심하게 나타남

④ 분극 전류 : 분극 전하의 시간적 변화

 

⑵ 분극의 종류

① 분자 분극(molecular polarization) : 쌍극자 배향 분극이라고도 함

○ 쌍극 분자에 전계가 가해지면 회전하는 힘을 받아 분극이 일어남

○ 온도가 높을 경우 분자의 열적 진동으로 인해 분극이 감소함

② 이온 분극(ionic polarization) : 원자 분극이라고도 함

○ 이온 결정에 전계가 가해지면 양이온과 음이온의 상대적인 변화를 일으켜 전기 쌍극자가 유도됨

○ 구조에 따라 변위의 범위가 다양하기 때문에 높은 유전율을 가질 수 있음

○ 대표적으로 세라믹 화합물에서 나타남

③ 전자 분극(electron polarization)

○ 원자가 전계 E 안에 놓이면 핵과 전자 구름에는 서로 반대 방향의 힘이 작용함 (∵ 핵과 전자 구름의 극성이 다르기 때문)

○ 원자는 쌍극자가 되어 분극이 발생함 : 이렇게 생긴 분극의 크기는 굉장히 작음

○ 모든 원자에서 일정 정도 유도됨

○ 높은 주파수의 전기장 변화에도 큰 위상차 없이 매우 빠르게 반응함

④ 계면 분극(interfacial polarization) : 공간 전하 분극이라고도 함

○ 다결정 다상의 고체에서 재료 내 움직일 수 있는 전하가 전계를 받고 계면에서 운동이 차단될 때 분극이 발생

○ 결정 안의 전자들이 조금씩 움직여서 분극을 만들어 큰 유전율을 가진 것과 동일한 효과를 냄

○ DC 전계 : 분극의 영향이 매우 큼. 비유전율을 증가시킴

○ AC 전계 : 저주파 영역에서 계면 분극이 소멸하여 덜 중요함

⑶ 구속전하와 정전용량

① 구속전하밀도 P : 단위면적당 분극

② 전속 밀도 D : 단위면적당 표면전하 밀도

③ 전기감수율(electric susceptibility) χ_e

 

 

⑷ 교류 전계 내에서의 유전체

 

출처  :  김만수 등, 생체물성공학, 한국농업기계학회, 문운당

 Figure. 1. 교류 전계 내에서의 유전체

 

① 충전전류(i_c) : 스위치가 닫히는 순간 유전체로 채워진 양극판을 충전하기 위한 충전전류가 흐름

② 흡수전류(i_d) : 시간에 따라 감소하며 유전체에 흡수되어 흐르는 전류

③ 누설전류(i_l) : 장시간 경과 후 유전체 캐리어에 의해 일정하게 흐르는 전류

④ 방전전류(i_c') : 스위치를 단락시키는 순간 커패시터에 충전된 전하가 방전하여 흐르는 전류

⑤ 잔류전류(i_d') : 시간에 따라 감소하며 남아있는 전하에 의해 흐르는 전류

⑥ 대부분의 유전체에서는 i_c = i_c', i_d = i_d'이 성립함

⑦ 유전여효(dielectric after-effect) : 흡수전류와 잔류전류가 흐르는 현상. 분극이 발생하거나 없어지려면 시간이 걸리기 때문

⑸ 분극율의 주파수 특성

① 주파수가 낮은 경우 유전체의 분극의 변화는 전계의 변화와 대략 일치함

② 주파수가 높은 경우 유전체이 분극의 변화가 주파수의 변화를 따라가지 못함 → 유전율이 감소함

③ 1 GHz 이상의 고주파를 가하면 계면 분극화와 분자 분극화는 사라지고 이온 분극화와 전자 분극화만 발생

 

출처  :  김만수 등, 생체물성공학, 한국농업기계학회, 문운당

Figure. 2. 유전체 분극률의 주파수 특성

 

○ 계면 분극화 : 1 Hz 이하

○ 분자 분극화 : 10⁴ ~ 10⁹ Hz

○ 이온 분극화 : 10⁹ ~ 10¹³ Hz

○ 전자 분극화 : 10¹⁴ ~ 10¹⁶ Hz

⑹ 유전 손실 : 유전 가열이라고도 함

① 정의 : 전기 쌍극자의 방향 전환과 누설 전류에 의해 에너지가 손실됨 → 열 에너지로 발산됨

○ 예 1. 쌍극 분자만으로 구성된 유전체는 10⁴ ~ 10⁹ Hz 주파수에서 에너지 손실이 최대가 됨

○ 예 2. 마이크로파는 대상 물질의 유전 손실이 최대가 되고 다른 물질은 적은 주파수를 선정

② 손실 탄젠트(loss tangent) : 유전체 손실각, 손실계수라고도 함

 

 

○ 교류 전기장에서 유전체의 등가 회로 : 저항과 커패시터의 병렬회로

○ I_C : 전도 전류. 손실이 전혀 발생하지 않을 때의 전류

○ I_R : 저항 전류. 손실이 발생했을 때의 전류

○ 특정 주파수 f와 변위 전류와 전도 전류가 같아지는 주파수 f_c에 대해 f의 유전체 손실각을 f tan δ = f_c가 성립하는 δ

③ 분산계수 = 주파수당 에너지 손실 / (2π × 저장된 최대 에너지) : 손실 탄젠트와 동일함

 

 

④ 복소 유전율(ε)과 복소 상대유전상수(ε_r)

○ 교류회로에서의 복소수 개념으로 인해 유전율도 복소구 개념을 도입함

 

 

○ 복소 유전율

 

 

○ 복소 상대유전상수

 

 

⑤ 유전체의 단위 체적당 발생하는 열에너지

 

 

○ f : 주파수 (Hz)

○ E : 전계 크기

○ ε" = ε tan δ, tan δ : 손실계수인 듯 (아닐 수도 있음)

⑺ 측정 방법 1. 브릿지 방법(Schering bridge) : 1 MHz 이하

⑻ 측정 방법 2. 공진법 : 1 ~ 900 MHz. Q meter, RLC meter, impedance analyzer

① 공진(공명, resonance) : 진동하는 계의 진폭이 급격하게 증가하는 현상

○ 예 : 1940년 워싱턴 주의 Tacoma Narrows Bridge가 완공되고 4개월 후 18.8 m/s의 바람에 공진을 일으켜 무너짐

② 직류 공진회로 : L, C가 에너지를 주고 받으면서 공진을 일으키고 R은 충격 완화(Bumping)의 역할을 함

③ 교류 공진회로 : 리액턴스끼리 상호작용하여 합성 임피던스에서 서셉턴스가 0이 되는 회로

④ 직렬 교류 공진회로 : 공진조건을 맞추면 합성 전류가 갑자기 커짐

○ 양호도(quality factor) : 공진회로에서 공진의 예민도를 나타내는 양. Q로 표시함

○ 직렬 공진회로에서 V_L 또는 V_C가 전원전압 V보다 수십 배 이상으로 확대되어 나타남

○ 전원 전압 V에 대한 V_L 또는 V_C의 비율을 전압확대율 또는 양호도라고 함

 

 

○ 공진회로가 에너지를 축적하는 효능의 척도 = 축적되는 에너지 ÷ 평균전력 = 양호도

 

 

○ 차단주파수(cut-off frequency) : 리액턴스가 저항과 크기가 같아져서 신호가 원본 신호의 1/√2배가 되는 주파수

 

 

○ 첨예도(sharpness) S

 

 

⑤ 병렬 교류 공진회로 : 공진조건을 맞추면 합성 전류가 갑자기 작아짐

⑥ Q 미터(Q-meter)를 이용한 인덕턴스와 커패시턴스의 측정

○ Q 미터의 구조 : 고주파 발진기(RF OSC), 표준가변 콘덴서(C_s), 전압계(VTVM), 고주파 전류계(A)로 구성

 

출처  :  김만수 등, 생체물성공학, 한국농업기계학회, 문운당

Figure. 3. Q 미터의 구조^]

 

○ 교류 전원의 주파수 : 50 ~ 75 kHz

○ E_o : 측정하고자 하는 소자 C_x, L_x를 연결하지 않았을 때의 전압강하

○ E_c : 피측정소자인 C_x와 L_x를 연결한 후 가변콘덴서인 C_s를 조정하여 전압계의 지시값이 최대가 되도록 한 값

○ 전압계의 지시값이 최대가 되는 조건

 

 

○ 결론 : 전압계의 지시값이 최대가 되는 조건을 찾으면 E_c = QE_o로부터 L_x와 R_x를 결정할 수 있음

⑦ Nelson이 제안한 Q-meter를 이용한 유전특성 측정 : (주석) 깊게 이해하려고 하지 말자

○ Nelson(1965)과 Stetson(1972) 등이 40 MHz 이하의 주파수에서 유전율을 측정하는 데 사용한 방법

○ 부유 축전용량(stray capacitance)의 영향을 배제하기 위한 방법

○ 1^st. 샘플 홀더를 연결하지 않은 상태에서 E_x가 최대가 될 때의 가변콘덴서의 용량 C_v1을 읽음

○ (주석) blank 신호를 측정하는 느낌

○ 2^nd. 시료가 채워지지 않은 샘플 홀더를 병렬로 연결한 상태에서 E_x가 최대가 될 때의 가변콘덴서의 용량 C_v2를 읽음

 

출처  :  김만수 등, 생체물성공학, 한국농업기계학회, 문운당

Figure. 4. Q 미터의 가변콘덴서에 샘플 홀더를 연결한 상태^]

 

○ 샘플 홀더만의 용량 C_s2는 다음과 같이 결정됨

 

 

○ h : 샘플 홀더의 높이

○ d_o : 샘플 홀더 외부 원통 지름

○ d_i : 샘플 홀더 내부 전극봉 지름

○ C_r : 샘플 홀더로 인한 stray capacitance

○ 3^rd. 동일한 샘플 홀더에서 시료를 h₁까지 채운 다음 2^nd의 과정을 반복함

○ 시료가 h₁만큼 채워진 상태에서 샘플 홀더의 용량 C_s3는 다음과 같이 결정됨

 

 

○ 4^th. 동일한 샘플 홀더에서 시료를 h₂까지 채운 다음 2^nd의 과정을 반복함

○ 시료가 h₁만큼 채워진 상태에서 샘플 홀더의 용량 C_s3는 다음과 같이 결정됨

 

 

○ 5^th. 시료의 유전상수 C_x의 결정

 

 

○ 6^th. tan δ와 Q의 관계

 

 

○ 7^th. 유전손실

 

 

○ 8^th. 시료의 고주파 저항 R_x

 

 

⑼ 측정 방법 3. 투과법 : 감쇠법이라고도 함

① 에너지가 유전물질을 투과할 때 나타나는 에너지 강도 및 위상의 변화를 측정하여 유전상수 및 손실계수를 계산

② 도파관(wave guide)을 이용함

⑽ 측정 방법 4. 반사법

① 유전물질의 표면에서 임피던스의 불일치 때문에 입사파의 일부가 반사되는 현상을 이용함

② 반사파의 세기와 위상을 측정하여 유전물질의 전파 임피던스(wave impedance)를 산출할 수 있음

③ 이 전파 임피던스에 의해 유전특성을 얻을 수 있음

 

2. 불균일성 2. 포인팅 벡터(Poynting vector) [목차]

⑴ 정의 : 단위 면적, 단위 시간에 통과하는 에너지

⑵ 전자기파의 발생

 

출처  :  고등과학 완자 물리학 2

Figure. 5. 전자기파의 발생

 

① 전자기파 전계 식

 

 

② 전자기파 자계 식

 

 

③ 전계(E), 자계(H)의 공통점

○ e₃ 성분이 0

○ x에 관한 1차 도함수가 0

○ y에 관한 1차 도함수가 0

④ (참고) 맥스웰 제3법칙 : 변위전류를 도입함

 

⑤ 맥스웰 제3법칙 적용

 

 

⑥ 최종 포인터 벡터 식

 

 

⑶ 고유 임피던스(intrinsic impedance) := Z = E / H

① 공간의 전계 에너지 밀도 W_e와 자계 에너지 밀도 W_m 사이에는 다음과 같은 관계가 있음 (η : 고유 임피던스)

 

 

② 전계의 투과계수 : 자계 H의 단위는 AT / m임

 

 

③ 반사율 = 반사 전계 세기 ÷ 입사 전계 세기

 

 

④ 매질의 변화는 μ, ε를 변화시켜, 파장, 진폭을 변화시킬 수 있을 뿐 주파수를 바꾸지는 못한다.

⑤ 변위전류는 전자파의 위상보다 90° 빠름

○ 증명 : I_D = ∂D / ∂t ∝ ∂E / ∂t = ∂( E₀ sin (ωt + θ₀) ) / ∂t = ωE₀ cos (ωt + θ₀) = ωE₀ sin (ωt + π/2 + θ₀)

⑥ Z₀ = E / H가 실수이므로 E와 H의 위상이 서로 같음

⑷ 벡터 마그네틱 포텐셜(vector magnetic potential)

 

3. 4단자망의 분포정수회로 모델링 [목차]

⑴ 송전단 모델링

 

Figure. 6. 분포정수회로 송전단 모델링

 

선로 방향으로 단위 길이당 Z = R + jωL의 임피던스를 가진다고 가정하자.또, 선로 간에는 단위 길이당 Y = G + jωC의 어드미턴스를 갖는다고 가정하자. 4단자망 회로에서 'ㄱ'을 따라 Z, Y가 배치된 회로에서

 

 

4단자망 회로에서 'Γ'을 따라 Z, Y가 배치된 회로에서

 

 

따라서

 

 

⑵ 특성 임피던스와 전파정수

① 특성 임피던스(파동 임피던스)

 

 

○ L : 분포인덕턴스, R : 저항, C : 정전용량, G : 누설컨덕턴스

② 전파정수(Propagation Constant)

 

 

○ α : 감쇠정수(attenuation constant)

○ β : 위상정수(phase constant)

③ 분포정수 회로의 4단자 정수

 

 

⑶ 무손실 선로

① 무손실 선로 : R = G = 0인 선로

② 특성임피던스 Z₀

 

 

③ 전파정수 γ

 

 

④ 진행파의 전파속도 v

 

 

○ 결론 1. 무손실 선로에서는 신호의 감쇠가 없음

○ 결론 2. 주파수에 관계없이 같은 크기의 파형이 전파속도 v로 진행

⑷ 무왜형 선로

① 무왜형 선로의 조건

 

 

② 특성 임피던스 Z₀

 

 

③ 전파정수 γ

 

 

④ 진행파의 전파속도 v : Z, α, v는 주파수와 무관

 

 

입력: 2020.06.02 19:15