【통계학】 16강. 선형 회귀분석

16강. 선형 회귀분석(linear regression analysis)

 

추천글 : 【통계학】 통계학 목차

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1. 회귀분석 [본문]

2. 단순선형회귀모델 [본문]

3. 다중선형회귀모델 [본문]

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a. R로 하는 회귀분석

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1. 회귀분석 [목차]

⑴ 회귀분석(regression analysis) : 특정 변수를 하나 또는 복수의 다른 변수의 의존관계로 나타내는 것

① 더 정확하게는, y ~ X (단, y ∈ ℝ) 

○ supervised algorithm에 속함 

○ (참고) classification : y ~ X  (단, | { y } | ＜ ∞ ) 

② 특정 변수 : 종속변수(dependent variable)라는 명칭이 대표적이나 여러 명칭이 있음

○ 응답변수(반응변수, response variable)

○ 결과변수(outcome variable)

○ 표적변수(target variable)

○ 출력변수(output variable)

○ 예측된 변수(predicted variable)

③ 다른 변수 : 독립변수(independent variable)라는 명칭이 대표적이나 여러 명칭이 있음

○ 실험변수

○ 설명변수(explanatory variable)

○ 예측변수(predictor variable)

○ 회귀자(regressor)

○ 공변량(covariate)

○ 통제변수(controlled variable)

○ 조작변수(manipulated variable)

○ 노출변수(exposure variable)

○ 리스크 팩터(risk factor)

○ 입력 변수(input variable)

○ 변수(feature) 

⑵ (구별개념) 교차분석, 분산분석

① 회귀분석 : 독립변수는 측정형 변수임. 종속변수는 측정형 변수임

○ 회귀분석은 종속변수에 대한 독립변수의 인과관계를 나타낸 것임

○ 실제 인과관계를 입증하지 않아도 됨 (∵ 예측이 목적이기 때문)

○ 예 : 6세 아이의 uncalcified bone의 길이는 추가로 성장할 키를 예측하지만 인과관계가 있는 것은 아님

② 교차분석 : 독립변수는 범주형(분류형) 변수임. 종속변수는 범주형(분류형) 변수임

○ 교차분석은 단순히 변수들 간의 상관관계를 나타낸 것임

③ 분산분석 : 독립변수는 범주형(분류형) 변수임. 종속변수는 측정형 변수임

⑶ 단순회귀분석과 다중회귀분석

① 단순회귀분석(simple regression analysis) : 독립변수가 하나인 회귀분석

② 다중회귀분석(multiple regression analysis) : 독립변수가 둘 이상인 회귀분석

⑷ 변수 선택 방법

① 전진 선택법(forward selection)

○ 단계 1. 절편만 있는 상수 모형부터 시작

○ 단계 2. 중요하다고 생각되는 독립변수를 차례로 모형에 추가하는 방식 

② 후진 소거법(backward elimination)

○ 단계 1. 독립변수 후보 모두를 포함한 모형에서 출발

○ 단계 2. 제곱합의 기준으로 가장 적은 영향을 주는 변수부터 하나씩 제거

○ 단계 3. 더 이상 유의하지 않은 변수가 없을 때까지 독립변수들을 제거

○ 단계 4. 이때의 모형을 선택

③ 단계적 방법(stepwise method)

○ 단계별 추가 : 변수를 추가하면서 새롭게 추가된 변수에 기인해 기존 변수가 그 중요도가 약화되면 해당 변수를 제거

○ 단계적 제거 : 제거되는 변수의 여부를 검토해 더 이상 없을 때 중단하는 방법 

 ⑸ 모형 선택 기준

① 개요

○ 모형의 복잡도에 벌점(penalty)을 주는 방법

○ 모든 후보 모형들에 대해 AIC, BIC를 계산하고 그 값이 최소가 되는 모형을 선택 

② AIC(Akaike information criterion)

○ AIC = -2 ln (L) + 2p (단, ln (L)은 모형의 적합도, L은 우도함수, p는 매개변수 개수)

○ 실제 데이터의 분포와 모형이 예측하는 분포 사이의 차이를 나타낸 지표

○ 값이 낮을수록 모형의 적합도가 높음

○ 표본이 커질수록 부정확해짐 

③ BIC(Bayesian information criterion)

○ BIC = -2 ln (L) + p ln n (단, ln (L)은 모형의 적합도, L은 우도함수, p는 매개변수 개수, n은 데이터 개수)

○ 표본의 커질수록 부정확해지는 AIC를 보완

○ 표본의 크기가 커질수록 복잡한 모형을 더 강하게 처벌 

 

 

2. 단순선형회귀모델(simple linear regression model) [목차]

⑴ 정의 : 단순회귀분석 중 의존관계가 일차함수로 나타나는 경우

⑵ 자료의 표현

 

출처 : 서울대학교 계량경제학(Okui Ryo, 2019) 수업

Figure. 1. 단순선형회귀모델^]

 

 

① β₀ : y 절편(y intercept)

② β₁ : 기울기(slope) 또는 X의 계수(coefficient on X)

○ parameter, regression coefficient, weight 등으로도 불림

○ 직관적으로 탄력성(elasticity)은 기울기의 절대값이 큰 정도를 의미

○ 미시경제학에서 탄력성(elasticity)은 기울기에 (-1)을 곱한 것을 의미

③ 회귀선의 종류

○ 실제회귀선(population regression line) : 모집단의 특성을 통해 얻은 회귀선

○ 적합회귀선(fitted regression line) : 표본의 특성을 통해 얻은 회귀선

④ u_i : 잔차(residual)

⑤ 잔차와 오차(error)의 차이

 

 

○ (참고) 앞으로 언급되는 오차는 사실상 잔차를 의미함

⑥ 분산성

○ 등분산성(homoscedasticity) : VAR(u_i | X_i)가 X_i와 독립. 비현실적 가정. 많은 통계 프로그램의 디폴트 셋팅

○ 이분산성(heteroscedasticity) : VAR(u_i | X_i)가 X_i에 의존

○ (참고) 등분산성이 있는 모델은 좋은 모델임

⑶ 가정

① 가정 1. X_i가 오차에 대한 어떤 정보도 제공하지 않음

 

 

○ residual plot이 패턴이 있으면 좋은 모델이 아님

② 가정 2. (X_i, Y_i)는 i.i.d.

③ 가정 3. 4차 적률(4th order moment)의 존재성

 

 

⑷ 적합회귀선의 유도

① 방법 1. 적률방법 또는 표본유사 추정

○ 계산과정

 

 

② 방법 2. 최소제곱법(method of least squares) 또는 OLS(ordinary least squares)

○ 정의 : SSE(sum of squares of the errors)의 최솟값을 계산

○ 모든 통계 소프트웨어에서 제공

○ 계산 과정 : X_i가 1차원인 경우

 

 

○ 최소제곱법은 최대우도 추정에 근거함 (단, 잔차가 등분산성, 정규성을 가질 것을 요함)

 

 

○ Y에 대한 X의 회귀와 X에 대한 Y의 회귀는 일반적으로 동일하지 않음 

○ Y에 대한 X의 회귀곡선은 E(X²), E(XY), E(X) 등이 관여함 

○ X에 대한 Y의 회귀곡선은 E(Y²), E(XY), E(Y) 등이 관여함

○ E(X²), E(Y²)이 비대칭성을 만듦

③ 방법 3. cross entropy 

○ 일반적인 정의

 

 

○ 이진 분류

 

 

○ y가 one-hot vector [0, ···, 1, ···, 0]으로 표현된다면 다음과 같이 나타낼 수 있음

 

 

⑸ 회귀선의 특징

① 불편성(unbiasedness)

 

 

② 효율성(efficiency)

○ Gauss-Markov theorem : OLS는 homoscedasticity 조건 하에서 efficient함

③ 일관성(consistency)

 

 

④ 정규근사성(asymptotic normality)

○ 기울기(slope)

 

 

○ y절편(y intercept) - 이분산성 표준 에러(heteroscedasticity-robust standard error)

 

 

○ y절편(y intercept) - 등분산성 표준 에러

 

 

⑹ 회귀선의 평가

① 기준 1. linearity

② 기준 2. homoscedasticity : 잔차 항이 등분산성을 갖는 것

③ 기준 3. normality : 잔차 항이 정규분포를 따르는 것

○ Box-Cox : 선형회귀모형에서 정규성 가정이 성립한다고 보기 어려울 경우 종속변수를 정규분포에 가깝게 변환

⑺ 결정계수(coefficient of determination, R-squared)

① 결정계수 R²

○ 정의

 

 

○ SST : 총 변동

○ SSR : 회귀식에 대한 변동

○ SSE : 에러에 의한 변동

○ SSE는 RSS(residual sum of squares), SSR(sum of squared residuals)라고도 함

○ ■ 항이 0인 이유 : bias와 chance error의 공분산은 직관적으로 0이기 때문 

○ 의미

○ 의미 1. Y의 분산 중 X가 설명할 수 있는 부분의 비율. 단위 없음

○ 의미 2. 회귀직선에 의해 설명되는 제곱합 ÷ 총 제곱합

② 결정계수는 상관계수의 제곱과 동일

 

 

③ FVR(fraction of the variance unexplained)

 

 

④ 성질

○ 0 ≤ R² ≤ 1

○ R²이 1에 가까울수록 적합회귀선의 적합성(goodness of fit of regression line)이 좋음

○ β₁의 추정량 = 0 ⇒ R² = 0

○ R² = 0 ⇒ β₁의 추정량 = 0 또는 X_i = 상수

 

 

⑻ 평균오차회귀

① SSE의 전개

 

 

② SSE의 기댓값

 

 

○ 전체 자유도 = 잔차의 자유도 + 회귀선의 자유도

○ 전체 자유도는 n-1

○ 회귀선의 자유도는 1 (∵ 회귀변수가 하나이기 때문)

○ 잔차의 자유도는 n-2

③ 평균제곱오차(MSE, mean squared error)

 

 

④ 표준오차회귀(SER, standard error regression)

 

 

⑼ 예제 1. 회귀의 어원 

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 2. 회귀의 어원^]

 

① X : 아버지의 키

② Y : 아들의 키

③ E(X) = 67.7, E(Y) = 68.7, σ_X = 2.7, σ_Y = 2.7, ρ_XY = 0.5

④ E(Y | X = 80) = 74.85

 

 

⑤ E(Y | X = 60) = 64.85

 

 

⑥ 결론

○ 키가 큰 아버지의 아들은 키가 작아지는 경향이 있음

○ 키가 작은 아버지의 아들은 키가 커지는 경향이 있음

○ 최종적으로 아들의 키는 평균으로 회귀하는 경향이 있음

○ 다만, 위 경향성은 기댓값에 불과하므로 아들의 키와 아버지의 키의 분산 대소관계는 전혀 별개임

⑽ 예제 2. 독립변수 범위 외에서 Y값 예측 : extrapolation이라고도 함

① 일반적으로 extrapolation은 위험함

 

출처 : Statistics Explained 2nd edition-Steve McKillup-Cambridge-2012, Fig. 17.8

Figure. 3. extrapolation의 위험성^]

 

② extrapolation 방법론이 항상 틀린 것은 아님

○ 예 : 생물 진화론 연구

⑾ 파이썬 코드  

 

from sklearn import linear_model
reg = linear_model.LinearRegression()
reg.fit([[0, 0], [1, 1], [2, 2]], [0, 1, 2])
# LinearRegression()
reg.coef_
# array([0.5, 0.5])

 

 

3. 다중선형회귀모델(multiple linear regression model) [목차]

⑴ 정의 : 다중회귀분석 중 의존관계가 일차함수로 나타나는 경우

⑵ omitted variable bias

① 정의 : omitted variable로 인해 오차의 기댓값이 0이 아닌 현상

 

 

○ endogenous variable : u_i와 상관관계가 있는 변수들

○ exogenous variable : u_i와 상관관계가 없는 변수들

② 조건 1. omitted variable과 regressor(e.g., X_i)가 상관관계를 가지고 있을 것

③ 조건 2. omitted variable이 Y의 determinator일 것

④ 기울기의 수렴값

 

 

○ ρ_Xu ＞ 0 : upward bias

○ ρ_Xu ＜ 0 : downward bias

⑤ 새로운 변수를 추가했을 때 계수의 값이 크게 바뀌면 omitted variable bias가 있었다고 할 수 있음

⑶ 자료의 표현

 

 

① 위 추정량들은 unbiasedness, consistency, asymptotically jointly normal이 관찰

② 강건성(robustness) : 새로운 regressor를 추가해도 어떤 regressor의 slope 값도 크게 바뀌지 않는 것

③ 민감도(sensitivity) : 새로운 regressor를 추가하면 특정 regressor의 slope 값이 크게 바뀌는 것

⑷ 가정

① 가정 1. 오차는 X_1i, ··· X_ki로 설명되지 않음

② 가정 2. (X_1i, ··· X_ki,Y_i)는 i.i.d.

③ 가정 3. 4차 적률(4th order moment)의 존재성

 

 

④ 가정 4. 완전 다중공선성(perfect multicollinearity)이 없을 것

○ 다중공선성 : 한 독립변수와 다른 독립변수들의 선형결합이 상당히 상관관계가 있는 것

○ (참고) 다중선형회귀모델은 독립변수끼리 독립적이기를 기대함

○ 완전 다중공선성 : 한 regressor가 다른 regressor들의 완전 선형성이 있는 경우 (행렬식 = 0)

○ 완전 다중공선성은 변수의 성질이 아니라 데이터 세트의 성질

 

 

○ 완전 다중공선성 데이터에 회귀분석을 시도하면 가능한 계수들의 경우의 수는 무한 : 회귀분석 불가능

○ 불완전 다중공선성(imperfect multicollinearity) : 2 이상의 regressor가 상당히 높은 상관관계를 보이는 것

○ 일단 문제가 되지는 않음

○ 기울기 추정량의 분산이 상당히 큼 → 기울기의 추정량을 신뢰하기 어려움

 

출처 : Statistics Explained 2nd edition-Steve McKillup-Cambridge-2012, Fig. 17.15

 

Figure. 4. 다중공선성이 기울기 추정량의 분산을 증가시키는 이유^]

⒝ 상당히 다양한 평면이 오차범위 안에 존재할 수 있음

 

○ 일반적으로 한 쌍의 변수의 상관계수가 0.9 이상이면 안 됨

○ 해결방법

○ 모든 조합의 pairwise plot을 그린 뒤 상관관계가 큰 변수를 제거

○ PCA, weighted sum 등의 방법을 시도하기도 하지만 각각 단점이 존재

○ (참고) R STUDIO에서 완전 다중공선성 데이터를 회귀분석하는 경우 문제가 되는 항 중 가장 마지막 항을 임의로 무시

⑸ OLS 추정량 : 아래와 같은 연립방정식을 계산하여 계수를 결정

 

 

⑹ 회귀선의 특징

 

 

① unbiasedness

② consistency

③ asymptotically jointly normality

④ Frisch-Waugh theorem

 

 

⑺ 수정된 결정계수 (adjusted R²)

① R²의 단점 : 다중회귀모델에서 fitting 정도를 잘 반영하지 못함

○ 단점 1. R²는 regressor의 개수가 증가할 때마다 항상 증가 (∵ SSE의 최솟값이 감소하므로)

○ 단점 2. R²이 높다고 omitted variable bias가 없는 게 아님

○ 단점 3. R²이 높다고 적절한 regressor을 찾은 게 아님

○ 단점 1을 해결하기 위해 adjusted R²을 도입

② 수식화

 

 

③ 성질

○ adjusted R² ≤ R²

○ adjusted R²는 음수가 될 수도 있음

○ 적절하지 않은 변수들을 추가할수록 그 값이 감소함 

⑻ 표준오차회귀(SER, standard error regression) : k는 회귀식의 독립변수의 수

 

 

⑼ 결합 가설(joint hypothesis) : 둘 이상의 제한조건이 있을 때의 가설

① 발상 1. t₁과 t₂가 독립

 

 

② 발상 2. t₁과 t₂가 다중공선성

 

 

③ 일반적인 경우

 

 

○ 일반적으로 이분산성(heteroscedastic-robust) F-통계량을 사용

○ 많은 통계 프로그램이 등분산성 F-통계량을 디폴트로 설정

④ 귀무가설

 

 

⑽ 다중선형회귀모델 재정의

 

 

① H₀ : β₁ = β₂를 검정하고 싶은 경우

 

 

② H₀ : β₁ + β₂ = 1을 검정하고 싶은 경우

 

 

⑾ 조건부 기댓값 독립(conditional mean independence)

① 정의

 

 

② X_1i는 주어진 X_2i에 대해 u_i와 상관관계 없음

③ β₂는 consistency가 없을 수 있음 : 그러나 중요하지 않음

⑿ 행렬표현(matrix notation)

① 선형회귀모델 

○ 스칼라 Y, 열벡터 X, β에 대해,

 

 

○ 일반화  

 

 

② 가정

○ 가정 1. E(u_i | X_i) = 0

○ 가정 2. (X_i, Y_i), i = 1, ···, n이 i.i.d.

○ 가정 3. X_i와 u_i는 nonzero finite fourth moment를 가지고 있음

○ 가정 4. 0 ＜ E(X_iX_i^t) ＜ ∞, 완전 다중공선성이 없을 것

③ OLS 모델링 - 단순한 버전 

 

 

④ OLS 모델링

 

 

⑤ consistency

 

 

⑥ multivariate central limit theorem

 

 

⑦ asymptotic normality

 

 

⑧ robust standard error (Eicker-Huber-White standard error)

 

 

⑨ robust F

 

 

입력: 2019.06.20 23:26