【통계학】 3-3강. 고난이도 확률문제

3-3강. 고난이도 확률문제

 

추천글 : 【통계학】 3강. 확률공간 

---

1. 문제 1 [본문]

2. 문제 2 [본문]

3. 문제 3 [본문]

4. 문제 4 [본문]

---

 

문제 1. [목차]

⑴ 문제

① A : a가 동전을 n+1번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수에 관한 확률변수

② B : b가 동전을 n번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수에 관한 확률변수

③ P(A ＞ B)?

⑵ 해설

① A* : a가 동전을 n번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수에 관한 확률변수

② B* : b가 동전을 n번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수에 관한 확률변수

③ P(A* ＞ B*) = P(A* ＜ B*)

④ P(A* ＞ B*) + P(A* = B*) + P(A* ＜ B*) = 1

⑤ P(A ＞ B) = P(A ＞ B | A* ＞ B*) + P(A ＞ B | A* = B*) + P(A ＞ B | A* ＜ B*)

○ P(A ＞ B ∩ A* ＞ B*) = 1

○ P(A ＞ B ∩ A* = B*) = 1/2 

○ P(A ＜ B ∩ A* ＜ B*) = 0

⑥ P(A ＞ B) = P(A* ＞ B*) + 1/2 P(A* = B*) = 1/2 (P(A* ＞ B) + P(A* = B*) + P(A* ＜ B*)) = 1/2

⑶ 주석

① 대수적으로 계산하는 것은 까다로움

 

 

문제 2. 베이즈 정리 [목차]

⑴ 전제

① 어떤 제약회사가 자사의 신약이 0.8의 확률로 기억력에 효과가 있다고 주장

② 피험자 20명을 대상으로 기억력 검사를 실시

③ 신약이 효과가 있는 경우 항상 검사 점수가 증가

④ 신약이 효과가 없는 경우 0.5의 확률로 검사 점수가 증가

⑤ 신약이 효과가 없는 경우 0.5의 확률로 검사 점수가 감소

⑥ 검사 결과 20명 중 16명의 점수가 증가

⑵ 정의

① M : 기억력이 좋아지는 사건

② N : 기억력이 변화없는 사건

③ S : 검사 점수가 증가하는 사건

④ T : 검사 결과 20명 중 16명의 점수가 증가하는 사건

⑤ F₁ : 제약회사의 주장이 맞는 사건

⑥ F₂ : 제약회사의 주장이 틀린 사건

⑶ 문제 1. P(T | F₁) : 제약회사의 주장이 사실인 경우 해당 결과가 나올 확률

① 접근 1. 

 

 

② 접근 2. 

 

 

⑷ 문제 2. P(T | F₂) : 제약회사의 주장이 틀린 경우 해당 결과가 나올 확률

 

 

⑸ 문제 3. P(F₁ | T) : 검사를 진행한 후 제약회사의 주장이 맞는 확률

 

 

⑹ 문제 4. P(M | T) : 검사를 진행한 후 제약회사의 신약으로 기억력이 좋아질 확률

 

 

 

문제 3. 결합확률분포 [목차]

⑴ 문제

① 원점에서 시작하여 길이가 ℓ km인 해변이 존재

② 임의의 한 지점을 선택

③ 원점에서 해당 지점까지의 구간 중 임의의 한 지점을 선택

④ Y : 최초 선택 지점과 원점으로부터의 거리 

⑤ X : 최종 선택 지점과 원점으로부터의 거리

⑵ p(x) 

 

 

 

문제 4. [목차]

⑴ 문제

① X : n명의 사람들의 모자를 모두 모아 임의로 분배 시 제대로 돌려받은 사람 수

② E(X), VAR(X)를 구하여라.

⑵ 발상의 전환

① X_i : i번째 사람이 자신의 모자를 제대로 돌려 받으면 1, 그렇지 않으면 0

② X = X₁ + ··· + X_n 

⑶ E(X)

 

 

① 핵심 : E(X_i) = 1/n

② 해석 1. 경우의 수 접근

 

 

③ 해석 2. i번째 사람이 최초로 추출한 때나 그렇지 않은 때의 기댓값은 대칭성에 의해 일정

 

 

⑷ VAR(X)

 

 

입력: 2019.07.04 10:13