【물리학】 파동역학 2강. 파동의 전파

파동역학 2강. 파동의 전파

 

추천글 : 【물리학】 물리학 목차 

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1. 파동의 반사 [본문]

2. 파동의 굴절 [본문]

3. 중첩의 원리 [본문]

4. 간섭 [본문]

5. 정상파 [본문]

6. 도플러 효과 [본문]

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a. 공명 실험 

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1. 파동의 반사 [목차]

⑴ 고정단 반사(fixed end reflection)

① 매질이 소한 곳에서 밀한 곳으로 반사가 이루어질 때 

② 파동의 위상이 π 만큼 변함

⑵ 자유단 반사(free end reflection)

① 매질이 밀한 곳에서 소한 곳으로 반사가 이루어질 때 

② 파동의 위상은 바뀌지 않음

2. 파동의 굴절 [목차]

⑴ 수면파의 굴절 

① 사고 실험 : 파동을 폭을 가진 선이라고 생각할 때 한쪽 끝은 빠르고 반대쪽 끝은 느리면 느린 쪽으로 굽어짐

② 결론 : 파동은 느린 쪽으로 굴절됨

⑵ 빛의 굴절 

① 빛은 두께가 있고 보강간섭을 고려하면 위와 같은 사고 실험이 유효함

② 결론 : 탄성파, 입자파를 불문하고 파동은 느린 쪽으로 굴절됨

⑶ 예 1. 해안선에 나란해지는 파도 

① 해안선이 오목한 곳은 바다 쪽으로 돌출된 곳보다 수심이 깊어서 오목한 곳으로 진행하는 파도의 속력이 빠름

② 결국 파도가 해안가로 다가갈수록 파면이 점점 해안선에 나란해짐 

⑷ 예 2. 낮과 밤의 소리의 굴절 

① 소리의 속력은 공기의 온도가 높을수록 빠름

② 낮에는 소리의 진행 방향이 위쪽으로 휘어지고, 밤에는 소리의 진행 방향이 아래쪽으로 휘어짐

⑸ 예 3. 해수 내 음속

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 1. deep-sea sound velocity profile^]

 

① 경우 1. 깊이 < 1,000 m : 소리는 아래쪽으로 굴절됨 

② 경우 2. 깊이 > 1,000 m : 소리는 위쪽으로 굴절됨 

③ 음파 채널 : 음파 채널은 1,000 m 전후에 존재함

○ 소리는 1,000 m 전후에서 파동을 그리며 해수면과 나란한 방향으로 전파됨

○ 고래나 잠수함이 자주 이용

⑹ 예 4. 물에 의한 빛의 굴절 : 물체가 실제 깊이보다 얕은 곳에 있는 것처럼 보임

⑺ 예 5. 렌즈에 의한 빛의 굴절 

⑻ 예 6. 대기에 의한 빛의 굴절

① 신기루(mirage)

○ 빛의 속력은 공기의 온도가 높을수록 느림

○ 찬 공기가 위쪽, 뜨거운 공기가 아래쪽 : 하늘에서 온 빛이 뜨거운 공기층을 통과하여 눈으로 보임

○ 찬 공기가 아래쪽, 뜨거운 공기가 위쪽 : 공중을 향하던 빛이 아래로 휘어져 물체가 공중에 뜬 것처럼 보임 

② 일출과 일몰 때 지평선 아래의 태양이 보이는 현상

③ 태양이 타원형으로 보이는 현상 : 수평선 근처에 잇는 태양은 타원형으로 보임

④ 아지랑이

⑤ 반짝이는 별

 

 

3. 중첩의 원리(principle of superposition) [목차]

⑴ 중첩의 원리

① 원리 1. F(x + y) = F(x) + F(y)

② 원리 2. F(ax) = aF(x) 

③ F의 예 : ax, d/dx, ∫ dx

⑵ 파동 중첩의 원리

① 파동방정식

 

 

② 파동 중첩의 원리 : φ₁과 φ₂가 위 파동방정식의 해라면 φ = aφ₁ + bφ₂ 또한 위 파동방정식의 해가 됨

 

 

4. 간섭(interference) [목차]

⑴ 개요

① 정의 : 중첩의 원리를 반영하는 현상

② 종류 1. 보강간섭(constructive interference) : 서로 다른 두 파동의 위상이 같아 진폭이 두 배가 되는 것

③ 종류 2. 상쇄간섭(destructive interference) : 서로 다른 두 파동의 위상이 반대가 되어 진폭이 0이 되는 것

⑵ 수학적 표현

① 오일러 표현

 

 

○ A : 진폭

○ e^iφ : 위상

② 파동의 중첩

 

 

 

 

③ 파동의 간섭

○ 간섭은 일반적으로 A₁ ≃ A₂ = A인 상황을 지칭

○ 파동함수 Ψ

 

 

○ 진폭 : 2A cos( (φ₁ - φ₂) ÷ 2 )

○ 위상항 : exp( i(φ₁ + φ₂) ÷ 2 ) 

○ 간섭항 : cos( (φ₁ - φ₂) ÷ 2 ) 

○ 0 ≤ | ψ | ≤ 2A 

○ 보강간섭 : Δx = nλ 

○ 상쇄간섭 : Δx = (n + ½) λ

 

 

5. 정상파(standing wave) [목차]

⑴ 개요

① 정의 : 직선상에서 속도의 방향만 다른 두 파동이 연속적으로 발생하여 파동이 정지한 것처럼 보이는 것

② 마디(node) : 정상파 상에서 진동하지 않는 지점

③ 배(antinode) : 정상파 상에서 진폭이 최대가 되는 지점

⑵ 수식적 표현

 

 

⑶ 경우 1. 현에서의 정상파

① 양쪽의 묶여 있는 지점에서는 마디가 형성됨

② 현의 길이를 ℓ이라고 하면 상태수 n에 따라 정상파를 형성하는 파동의 파장은 2ℓ / n이 됨

③ 피타고라스 음계 : 피타고라스는 무리수를 이용하여 음계를 구성함

○ 원리 1. 완전 5도 관계 : 솔은 도의 관의 길이의 2/3배임

○ 원리 2. 옥타브 : 한 옥타브 높은 도는 관의 길이가 1/2배로 줄어듦

○ 위 두 개의 원리를 이용하면 나머지 음계도 만들 수 있음

○ 해당 무리수를 가까운 분수로 나타내기도 함

⑷ 경우 2. 개관 정상파(open pipe standing wave)

① 양쪽이 열려 있는 개관에서는 관의 끝부분에서 배가 형성됨

② 관의 길이를 ℓ이라고 하면 상태수 n에 따라 정상파를 형성하는 파동의 파장은 2ℓ / n

⑸ 경우 3. 폐관 정상파(closed pipe standing wave)

① 한쪽만 열려 있는 폐관에서는 막힌 쪽은 마디, 열린 쪽은 배가 형성됨

② 관의 길이를 ℓ이라고 하면 상태수 n에 따라 정상파를 형성하는 파동의 파장은 4ℓ / (2n - 1)

 

출처 : 이미지 클릭

Figure. 2. 개관 정상파와 폐관 정상파^]

 

 

6. 도플러 효과(Doppler effect) [목차]

⑴ 수식화

 

 

① v_s : 파원(예 : 음원)의 속력

② v_d : 관측기의 속력

③ v₀ : 파동(예 : 음파)의 속력 

④ f₀ : 파동의 주파수

⑤ f : 관측 주파수 

⑥ (주석) 부호 판정은 직관적으로 할 것

⑵ 음원이 움직이는 경우 : 파동의 측정 파장은 달라지고 측정 속도는 일정함 

⑶ 측정기가 움직이는 경우 : 파동의 측정 파장은 일정하고 측정 속도는 달라짐

 

입력 : 2019.05.03 20:05