4강. 양자역학 1부
추천글 : 【화학】 화학 목차
a. 양자역학 1부
b. 양자역학 2부
c. 양자역학 3부
d. 양자역학 4부
⑴ 개요
① 파동설(wave theory) : 빛은 파동이라는 학설
② 입자설(corpuscular theory) : 빛은 입자라는 학설
③ 빛 연구의 역사는 빛이 파동인지 입자인지를 규명하는 역사라고 할 수 있음
⑵ 근대까지의 역사
① 아리스토텔레스(Aristole) (BC. 384-322) : 우리가 세상을 볼 때 우리 눈에서 나온 무언가가 물체에서 반사되어 보는 것
② 이븐 알하이삼(Hasan Ibn al Haytham) (965-1040) : 눈의 해부 구조와 바늘구멍 사진기의 유사성을 주장
③ Francesco Maria Grimaldi (Bologna) : 1660년 빛의 회절을 입자설로 설명
④ 호이겐스(Huygens) : 빛의 파동설 주장. 반사와 굴절을 효과적으로 설명
○ Treatise on light (1690)
○ 빛은 에테르(aether)라는 매질 상을 이동하는 파동이라고 생각
⑤ 뉴턴 : 빛은 Corpuscle이라는 입자라고 주장
○ Opticks (1704)
⑥ 회절실험
⑦ 산란실험
⑧ 토마스 영(Thomas Young) (1773-1829)
○ 이중슬릿 간섭 실험(1801-1803)
○ 빛의 파장 측정
⑨ 프레넬(Augustine Fresnel) (1788-1827)
○ 빛의 파동성 주장
○ 호이겐스의 원리로부터 회절현상에 관한 방법론 개발(1818)
⑩ 맥스웰(James Clerk Maxwell) (1831-1879)
○ 전기와 자기에 관한 수학적인 이론을 4개의 맥스웰 방정식으로 정립
○ 전자기파의 전파에 관한 이론을 발표(1873)
○ 전자기파의 속도를 계산한 결과 기존에 알려진 빛의 속도와 동등함을 발견
⑪ 헤르츠(Heinrich Hertz) (1857-1894) : 맥스웰이 예측한 전자기파를 만들고 검출(1887)
⑶ 광전효과 : 아인슈타인의 해석으로 빛의 입자성 증거로 채택
① 개요
○ 정의 : 입사된 빛이 금속판과 충돌하여 광전자가 튀어 나오는 현상
○ 일함수 : 광전효과가 일어나기 위한 최소한의 에너지, 곧 이온화에너지
○ 한계진동수 : 광전효과가 일어나기 위한 빛의 최소한의 진동수, h × 한계진동수 = 일함수
○ 광자의 최대 운동에너지 : 입사광의 에너지 - 일함수
Figure. 1. 전압과 광전효과 전류, 빛의 세기의 관계
② 물질과 빛의 상호작용 관련
○ X = a. Y = b. Z = c
○ X, Z를 따로 비추어도 광전자가 방출되지 않음. Y를 비추면 광전자가 방출됨
○ 광자 Y의 에너지는 광자 X의 에너지와 광자 Z의 에너지의 합과 같음
○ X와 Z를 동시에 비추어도 P에서 광전자가 방출되지 않음
○ 이유 : 하나의 원자와 상호작용하는 광자는 기껏해야 1개인 듯
③ 응용
○ 광 다이오드
○ 전하 결합 소자(CCD)
○ X선 광전자 분광법(XPS, X-ray photoelectron spectroscopy)
⑷ 흑체복사(blackbody radiation)
① 정의 : 에너지를 가진 모든 물체가 빛을 발하는 현상
② 흑체(blackbody) : 입사된 에너지를 모두 흡수하고, 흡수한 모든 에너지를 완전히 방출하는 물체
③ 파동의 상태수 개수(number of modes)
○ 현에서의 정상파를 기준으로 함
○ 1차원 정상파 : 현의 길이가 L일 때, 파동의 상태수 n (단, n은 자연수)에 따라 다양한 진동수의 정상파가 존재함
○ 3차원 정상파 : 파동의 상태수 벡터 (l, m, n)에 따라 다양한 진동수의 파동(이 경우, 빛)이 존재함
○ 상태수 벡터를 직교좌표계에 대응시킬 수 있음 : l, m, n이 양의 정수이기 때문에 1/8구(octant)를 고려함
○ 파동의 상태수 개수 : 원점으로부터의 거리를 p, 반지름이 p인 1/8 구 내 격자점의 개수를 N*(p)라 할 때,
○ 상태수 개수(N*)와 진동수(ν)의 관계
○ 위 식은 같은 상태수여도 위상이 반대인 2개의 파동이 있을 수 있다는 것을 고려하지 않음
○ 결론 : 공간의 부피 V = L3, 단위 부피당 상태수 개수 N = N* / V에 대하여,
④ 레일리-진스 법칙(Rayleigh-Jeans law)
○ 개요 : 흑체복사를 파동성으로 분석하려고 하면 UV 파탄이 관찰돼야 함
○ 열역학에서 계의 평균 진동 에너지 : 각 방향에 대한 병진, 회전과 달리 진동 그 자체로 자유도 2를 할당함
○ 진동수 ν에서 단위 부피당 평균 방사 에너지
○ UV 파탄(UV catastrophy) : 흑체가 파장이 0 근처의 빛을 무한대 가깝게 발산하는 것
○ 실제로는 파장이 0 근처의 빛은 세기가 0으로 수렴
⑤ 플랑크 법칙(Planck's law)
○ 막스 플랑크(Max Planck)가 입자성을 도입하고 E = hν를 가정하여 성공적으로 설명 (1900년)
○ 광자 한 개의 에너지
○ 진동수가 ν인 광자가 n개 있을 확률 : 특정 에너지의 입자의 확률이 지수함수라는 맥스웰-볼츠만 분포에서 착안
○ 계의 평균 에너지
○ 진동수 ν에서 단위 부피당 평균 방사 에너지
○ 플랑크 곡선 : 흑체에서 방출하는 복사에너지의 파장에 따른 분포. 흑체의 복사에너지 분포는 온도에만 관계함
Figure. 3. 플랑크 곡선
○ 계의 단위 부피당 전체 에너지
○ 광자의 플럭스
⑥ 스테판-볼츠만 법칙 : 흑체가 단위면적당 단위시간에 방출되는 에너지는 흑체의 절대온도 T(K)의 네제곱에 비례
○ 실제 물체의 경우 위 식에서 반사율 ε을 곱해주기도 함
○ 단, σ : 볼츠만 상수, 8.22 × 10-11
⑦ 빈의 변위 법칙(Wien's displacement law) : 최대 복사 에너지를 내는 파장 λmax (㎛)은 흑체의 절대온도 T(K)에 반비례
○ 단, α : 빈의 상수, 2.89 × 103
⑧ 파울리 배타원리
○ 정의 : 한 궤도 상에 모든 양자수가 동일한 전자가 둘 이상 존재할 수 없음
○ 플랑크 곡선이 연속적인 그래프로 나오는 이유
○ 많은 원자들이 모여 있으면 에너지 준위들이 겹치다가 약간씩 밀려나면서 에너지 준위가 연속적으로 나타남
Figure. 4. 오비탈 중첩에 따른 에너지 준위의 갈라짐
Figure. 5. 오비탈 중첩에 따른 에너지 밴드의 형성
⑸ 콤프턴 산란(Compton scattering)
① 정지한 전자에 빛을 입사시키면 광자와 전자가 탄성충돌을 하는 현상
② 빛의 입자성 증거
③ 실험설계
⑹ 전자의 파동성
① 데이비슨·거머 실험 : 전자선을 니켈 결정에 입사시킬 때 회절 현상이 나타남을 보임
② 톰슨의 전자 산란 실험(1925년)
○ 전자선을 금속박에 입사시켜 X선의 회절과 닮은 전자의 회절 사진을 얻음
Figure. 6. 톰슨의 전자 산란 실험
왼쪽은 X선 회절 무늬이고 오른쪽은 전자선 회절 무늬임
○ 결론 : 당연히 입자라고 알려진 전자가 회절이 가능하다는 것을 실험으로 입증
○ 추론 : 전자가 파동의 성질을 가지면 정확한 궤도를 알 수 없음
2. 물질파의 도입 (1925년) [목차]
⑴ 가정
① 드 브로이(de Broglie)가 제시
② 운동량을 갖는 모든 물체는 파동성을 가짐
⑵ 광자 방정식과의 유사성
① 상대성이론과 광자 방정식
② 양자역학과 광자 방정식
③ 최종 방정식
⑶ 드브로이 물질파 방정식
3. 보어 원자 모형 [목차]
⑴ 원리 1. 드브로이 물질파, 정상파 조건
① 원리 1-1. 전자의 쿨롱 법칙
② 원리 1-2. 전자는 드브로이 물질파 방정식을 만족
③ 원리 1-3. 정상파 조건 : 전자는 핵 주위를 운동(틀린 가정)하며, n 번째 에너지 궤도는 파장의 n 배수
○ 불연속성(양자성)의 근본적인 원인
○ 예시
Figure. 7. n = 2인 경우(가)의 정상파 조건과 n = 3인 경우(나)의 정상파 조건
④ 전제
○ Z : 핵전하. e : 전자의 전하량. k : 쿨롱상수
○ 수소꼴 원자 : 전자가 1개인 원자. 양성자수는 1이 아닐 수 있음
⑤ 속력
⑥ 반지름 : n의 제곱에 비례
⑦ 운동량
⑧ 에너지 준위
⑨ Rydberg's constant (R∞)
⑩ (주석) 에너지 준위 식을 보면 암기 부담을 덜 수 있는 유용한 관계식을 발견할 수 있음
⑪ 의의 : 기존에 알려져 있던 양자화된 원자 스펙트럼을 규명 (구체적인 값이 상당히 일치)
⑫ 한계
○ 수소원자 외에 다전자 원자는 잘 맞지 않음
○ 전자가 에너지를 잃으면서 원자가 붕괴된다는 이론적 예측
⑵ 원리 2. 진동수 조건 : 전자가 한 에너지 준위에서 다른 에너지 준위로 전이할 때 에너지를 흡수하거나 방출
① Rydberg 공식
② 라이만 계열(Lyman series)
○ 방출선 : n ＞ 1인 다른 에너지 준위에서 n = 1로 전이할 때, 자외선이 방출
○ 흡수선 : n = 1에서 n ＞ 1인 다른 에너지 준위로 전이할 때, 자외선을 흡수
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 라이만 계열이라고 함
③ 발머 계열(Balmer series)
○ 방출선 : n ＞ 2인 다른 에너지 준위에서 n = 2로 전이할 때, 가시광선이 방출
○ 흡수선 : n = 2에서 n ＞ 2인 다른 에너지 준위로 전이할 때, 가시광선을 흡수
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 발머 계열이라고 함
④ 파센 계열(Paschen series) : 보어 계열(Bohr series)라고도 함
○ 방출선 : n ＞ 3인 다른 에너지 준위에서 n = 3으로 전이할 때, 적외선이 방출
○ 흡수선 : n = 3에서 n ＞ 3인 다른 에너지 준위로 전이할 때, 적외선을 흡수
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 파센 계열이라고 함
⑤ 브라켓 계열(Brackett series)
○ 방출선 : n ＞ 4인 다른 에너지 준위에서 n = 4로 전이할 때
○ 흡수선 : n = 4에서 n ＞ 4인 다른 에너지 준위로 전이할 때
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 브라켓 계열이라고 함
⑦ 파운드 계열(Pfund series)
○ 방출선 : n ＞ 5인 다른 에너지 준위에서 n = 5로 전이할 때
○ 흡수선 : n = 5에서 n ＞ 5인 다른 에너지 준위로 전이할 때
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 파운드 계열이라고 함
⑧ 험프레이 계열(Humphrey series)
○ 방출선 : n ＞ 6인 다른 에너지 준위에서 n = 6으로 전이할 때
○ 흡수선 : n = 6에서 n ＞ 6인 다른 에너지 준위로 전이할 때
○ 이때 만들어지는 방출선 또는 흡수선을 험프레이 계열이라고 함
⑶ 원리 3. 선택규칙(selection rule) : 전자 전이의 제한
① 주양자수 변화량 : Δn은 음수일 수도 있음
② 각양자수 변화량 : Δℓ = ±1
○ 예 : 1s → 2p는 허용되지만 1s → 2s는 허용되지 않음
③ 자기 양자수 변화량 : Δmℓ = 0, ±1
④ 스핀 양자수 변화량 : 전자는 전이할 때 스핀이 바뀌지 않음 (스핀 보존의 법칙)
⑤ Δj = ±1
⑷ 응용 : 불꽃반응(flame test)
① 개요
○ 중세에 연금술 연구를 통해 확립됨
○ 전자의 에너지 준위가 양자화돼 있음을 간접적으로 암시함
② 불꽃반응은 원소 탐지법으로 사용됨
○ 전자 전이의 제한 하에 가시광선을 나타내는 화학종은 제한돼 있음
○ ns 오비탈과 np 오비탈의 에너지 차이와 관련 있기 때문에 경향성이 두드러지지 않음
③ 예시
| Ions | Flame Test Colour |
| Lithium, Li+ | Red |
| Sodium, Na+ | Yellow |
| Potassium, K+ | Lilac |
| Calcium, Ca2+ | Orange-red |
| Barium, Ba2+ | Green |
| Copper, Cu2+ | Blue-green |
Table. 1. 불꽃반응의 예시
⑸ 응용 : 레이저
Figure. 10. 레이저의 원리
입력 : 2018.12.28 22:40
수정 : 2022.09.12 19:25
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